دعونا نلقي نظرة على العمليات الحسابية الأساسية: الجمع والطرح والضرب والقسمة.قواعد إجراء هذه العمليات في النظام العشري معروفة جيدًا - وهي الجمع والطرح والضرب في عمود والقسمة بزاوية. تنطبق هذه القواعد على جميع أنظمة الأرقام الموضعية الأخرى. كل ما تحتاجه هو استخدام جداول الجمع والضرب الخاصة لكل نظام.

1. الإضافة

من السهل إنشاء جداول الجمع باستخدام قواعد العد.

عند الإضافة يتم جمع الأرقام بالأرقام، وإذا كان هناك فائض، يتم نقله إلى اليسار.

مثال 1. دعونا نضيف الأرقام 15 و 6 في أنظمة أرقام مختلفة.

مثال 2. دعونا نضيف الأرقام 15 و 7 و 3.

السداسي عشري : ف 16 +7 16 +3 16

15+7+3 = 25 10 = 11001 2 = 31 8 = 19 16 . فحص: 11001 2 = 2 4 + 2 3 + 2 0 = 16+8+1=25, 31 8 = 3 . 8 1 + 1 . 8 0 = 24 + 1 = 25, 19 16 = 1 . 16 1 + 9 . 16 0 = 16+9 = 25.

مثال 3. فلنجمع الرقمين 141.5 و59.75.

الجواب: 141.5 + 59.75 = 201.25 10 = 11001001.01 2 = 311.2 8 = C9.4 16

فحص. تحويل المبالغ الناتجة إلى شكل عشري:

11001001,01 2 = 2 7 + 2 6 + 2 3 + 2 0 + 2 -2 = 201,25

311,2 8 = 3 . 8 2 + 1 . 8 1 + 1 . 8 0 + 2 . 8 -1 = 201,25

ج9.4 16 = 12 . 16 1 + 9 . 16 0 + 4 . 16 -1 = 201,25

2. الطرح

الطرح في نظام الأرقام الثنائية تذكير يطرح 0 1 0 1 يُقرض	الطرح في نظام الأعداد الست عشري 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 أ ب ج د ه F 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 أ ب ج د ه F استعارة وحدة من الرتبة العليا
الطرح في نظام الأعداد الثماني 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7

يُقرضوحدات عالية الترتيب

مثال 4. اطرح واحدًا من الأعداد 10 2 , 10 8 و 10 16

مثال 5. اطرح واحدًا من الأعداد 100 2 , 100 8 و 100 16 .

مثال 6. اطرح الرقم 59.75 من الرقم 201.25.

الجواب: 201.25 10 - 59.75 10 = 141.5 10 = 10001101.1 2 = 215.4 8 = 8د.8 16.

فحص. دعنا نحول الاختلافات الناتجة إلى شكل عشري:

10001101,1 2 = 2 7 + 2 3 + 2 2 + 2 0 + 2 -1 = 141,5;

215,4 8 = 2 . 8 2 + 1 . 8 1 + 5 . 8 0 + 4 . 8 -1 = 141,5;

8د,8 16 = 8 . 16 1 + د . 16 0 + 8 . 16 -1 = 141,5.

العمليات الحسابية في نظام الأرقام الثنائية

يتم تحديد قواعد إجراء العمليات الحسابية على الأعداد الثنائية عن طريق جداول الجمع والطرح والضرب.

قاعدة إجراء عملية الجمع هي نفسها بالنسبة لجميع أنظمة الأرقام: إذا كان مجموع الأرقام المضافة أكبر من أو يساوي قاعدة نظام الأرقام، فسيتم نقل الوحدة إلى الرقم التالي على اليسار. عند الطرح، إذا لزم الأمر، قم بتقديم قرض.

يتم تنفيذ العمليات الحسابية بشكل مشابه في أنظمة الأرقام الثمانية والست عشرية وأنظمة الأرقام الأخرى. من الضروري أن نأخذ في الاعتبار أن مقدار التحويل إلى الرقم التالي عند الإضافة والاقتراض من الرقم الأعلى عند الطرح يتم تحديده من خلال قيمة أساس نظام الأرقام.

العمليات الحسابية في نظام الأعداد الثماني

لتمثيل الأرقام في نظام الأرقام الثماني، يتم استخدام ثمانية أرقام (0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7)، لأن قاعدة نظام الأرقام الثماني هي 8. يتم تنفيذ جميع العمليات باستخدام هذه الأرقام الثمانية. تتم عمليات الجمع والضرب في نظام الأعداد الثماني باستخدام الجداول التالية:

جداول الجمع والضرب في نظام الأعداد الثماني

مثال 5اطرح الأرقام الثمانية 5153- 1671 و 2426.63- 1706.71

مثال 6. اضرب الأرقام الثمانية 51 16 و 16.6 3.2

العمليات الحسابية في نظام الأعداد الست عشري

لتمثيل الأرقام في نظام الأرقام السداسي العشري، يتم استخدام ستة عشر رقمًا: 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، A، B، C، D، E، F. في النظام الست عشري ، العدد ستة عشر مكتوب بالرقم 10. إجراء العمليات الحسابية في النظام الست عشري هو نفسه كما في النظام العشري، ولكن عند إجراء العمليات الحسابية على أعداد كبيرة، من الضروري استخدام جداول لجمع وضرب الأرقام في نظام الأرقام الست عشري.

جدول الجمع في نظام الأرقام الست عشري

جدول الضرب في نظام الأعداد السداسي العشري

مثال 7. إضافة أرقام ست عشرية

كيف نضيف في النظام العشري؟

دعونا نتذكر كيف نجمع الأرقام بالطريقة التي نعرفها بالفعل، بالنظام العشري.

الشيء الأكثر أهمية هو فهم الفئات. تذكر الأبجدية لكل SS وبعد ذلك سيصبح الأمر أسهل بالنسبة لك.

الجمع في النظام الثنائي لا يختلف عن الجمع في النظام العشري. الشيء الرئيسي الذي يجب تذكره هو أن الأبجدية تحتوي على رقمين فقط: 0 و1. لذلك، عندما نضيف 1 + 1، نحصل على 0، ونزيد الرقم بمقدار رقم واحد آخر. انظر إلى المثال أعلاه:

1. نبدأ في الطي كالمعتاد من اليمين إلى اليسار. 0 + 0 = 0، مما يعني أننا نكتب 0. لننتقل إلى الرقم التالي.
2. نضيف 1 + 1 ونحصل على 2، لكن 2 ليس في نظام الأرقام الثنائية، مما يعني أننا نكتب 0 ونضيف 1 إلى الرقم التالي.
3. نحصل على ثلاث وحدات في هذا الرقم، بإضافة 1 + 1 + 1 = 3، وهذا الرقم أيضًا لا يمكن أن يكون موجودًا. وهذا يعني أن 3 - 2 = 1. ويتم إضافة 1 إلى الرقم التالي.
4. نحصل مرة أخرى على 1 + 1 = 2. ونحن نعلم بالفعل أنه لا يمكن أن يكون هناك 2، لذلك نكتب 0 ونضيف 1 إلى الرقم التالي.
5. ليس هناك ما يمكن إضافته، فالجواب هو: 10100.

قمنا بتحليل مثال واحد، قرر الثاني بنفسك:

تمامًا كما هو الحال في أي نظام أرقام آخر، عليك أن تتذكر الحروف الأبجدية. دعونا نحاول إضافة تعبير.

1. كل شيء كالمعتاد، نبدأ في الطي من اليمين إلى اليسار. 4 + 3 = 7.
2. 5 + 4 = 9. لا يمكن أن يكون هناك تسعة، لذلك نطرح 8 من 9 ونحصل على 1. ونضيف 1 آخر إلى الرقم التالي.
3. 3 + 7 + 1 = 11. اطرح 8 من 11 نحصل على 3. وأضف واحدًا إلى الرقم التالي.
4. 6 + 1 = 7.
5. لا يوجد شيء آخر يمكن إضافته. الجواب: 7317.

الآن قم بعملية الإضافة بنفسك:

1. نحن نقوم بإجراءات مألوفة لنا بالفعل ولا ننسى الأبجدية. 2 + 1 = 3.
2. 5 + 9 = 14. تذكر الحروف الأبجدية: 14 = E.
3. ج = 12. 12 + 8 = 20. لا يوجد عشرين في نظام الأرقام السداسي العشري. هذا يعني أننا نطرح 16 من 20 ونحصل على 4. ونضيف واحدًا إلى الرقم التالي.
4. 1 + 1 = 2.
5. ليس هناك المزيد لإضافته. الجواب: 24E3.

الطرح في أنظمة الأعداد

دعونا نتذكر كيف نفعل ذلك في نظام الأرقام العشري.

1. نبدأ من اليسار إلى اليمين، ومن الأصغر إلى الأكبر. 2 - 1 = 1.
2. 1 – 0 = 1.
3. 3 – 9 = ؟ ثلاثة أقل من تسعة، لذا دعونا نستعير واحدًا من أعلى رقم. 13 - 9 = 4.
4. من الرقم الأخير أخذنا واحدًا للإجراء السابق، لذا 4 - 1 = 3.
5. الجواب: 3411.

1. لنبدأ كالمعتاد. 1 - 1 = 0.
2. 1 – 0 = 1.
3. لا يمكنك طرح واحد من 0. لذلك سنأخذ رتبة واحدة من الأقدم. 2 - 1 = 1.
4. الجواب: 110.

الآن قرر بنفسك:

1. لا شيء جديد، الشيء الرئيسي هو أن نتذكر الأبجدية. 4 - 3 = 1.
2. 5 – 0 = 5.
3. لا يمكننا طرح 7 من 3 على الفور؛ للقيام بذلك نحتاج إلى استعارة وحدة من رقم أعلى. 11 - 7 = 4.
4. تذكر أننا استعرنا وحدة سابقًا، 6 - 1 = 5.
5. الجواب: 5451.

لنأخذ المثال السابق ونرى ماذا ستكون النتيجة بالنظام الست عشري. نفسه أم مختلف؟

1. 4 – 3 = 1.
2. 5 – 0 = 5.
3. لا يمكننا طرح 7 من 3 على الفور؛ للقيام بذلك نحتاج إلى استعارة وحدة من رقم أعلى. 19 – 7 = 12. في النظام الست عشري، 12 = C.
4. تذكر أننا استعرنا وحدة سابقًا، 6 - 1 = 5
5. الجواب: 5C51

مثال لحل افعل ذلك بنفسك:

الضرب في أنظمة الأعداد

دعونا نتذكر مرة واحدة وإلى الأبد أن الضرب بواحد في أي نظام أرقام سيعطي دائمًا نفس الرقم.

1. نضرب كل رقم في واحد، كالعادة من اليمين إلى اليسار، ونحصل على الرقم 6748؛
2. نضرب 6748 في 8 ونحصل على الرقم 53984؛
3. نقوم بعملية ضرب 6748 في 3. نحصل على الرقم 20244؛
4. أضف جميع الأرقام الثلاثة وفقًا للقواعد. نحصل على 2570988؛
5. الجواب: 2570988.

الضرب في النظام الثنائي سهل للغاية. نحن دائمًا نضرب إما بـ 0 أو واحد. الشيء الرئيسي هو الطي بعناية. دعونا نحاول.

1. نضرب 1101 في واحد، كالعادة من اليمين إلى اليسار، ونحصل على الرقم 1101؛
2. نقوم بهذه العملية مرتين أخريين؛
3. نجمع جميع الأرقام الثلاثة بعناية، وتذكر الحروف الأبجدية، دون أن ننسى السلم؛
4. الجواب: 1011011.

مثال لحل افعل ذلك بنفسك:

1. 5 × 4 = 20. و20 = 2 × 8 + 4. نكتب باقي القسمة إلى رقم - سيكون 4، ونضع 2 في الاعتبار. نقوم بهذا الإجراء من اليمين إلى اليسار ونحصل على الرقم 40234؛
2. عندما نضرب في 0، نحصل على أربعة أصفار؛
3. وعندما نضرب في 7 نحصل على الرقم 55164؛
4. الآن نجمع الأرقام ونحصل على – 5556634؛
5. الجواب: 5556634.

مثال لحل افعل ذلك بنفسك:

كل شيء كالمعتاد، والشيء الرئيسي هو أن نتذكر الأبجدية. للراحة، قم بتحويل الأرقام الأبجدية إلى نظام الأرقام المعتاد الخاص بك، أثناء الضرب، قم بتحويلها مرة أخرى إلى قيمة حرفية.

من أجل الوضوح، دعونا ننظر إلى ضرب الرقم 20A4 في 5.

1. 5 × 4 = 20. و20 = 16 + 4. نكتب باقي القسمة إلى رقم - سيكون 4، ونضع 1 في الاعتبار.
2. أ × 5 + 1 = 10 × 5 + 1 = 51. 51 = 16 × 3 + 3. نكتب باقي القسمة في رقم - سيكون 3، ونضع 3 في الاعتبار.
3. عندما نضرب في 0 نحصل على 0 + 3 = 3؛
4. 2 × 5 = 10 = أ؛ ونتيجة لذلك، نحصل على A334؛ نقوم بتنفيذ هذا الإجراء مع رقمين آخرين؛
5. تذكر قاعدة الضرب في 1؛
6. عندما نضرب في B نحصل على الرقم 1670C؛
7. الآن نجمع الأرقام ونحصل على - 169B974؛
8. الجواب: 169V974.

مثال لحل مستقل.

أمثلة على تحويل الأرقام إلى أنظمة أرقام مختلفة

المثال رقم 1
دعونا نحول الرقم 12 من النظام العشري إلى نظام الأرقام الثنائية
حل

لنقم بتحويل الرقم 12 10 إلى نظام الأعداد الثنائي، باستخدام القسمة التسلسلية على 2، حتى يصبح الناتج غير المكتمل يساوي الصفر. ستكون النتيجة رقمًا من باقي القسمة مكتوبًا من اليمين إلى اليسار.

12	:	2	=	6	الرصيد: 0
6	:	2	=	3	الرصيد: 0
3	:	2	=	1	الباقي: 1
1	:	2	=	0	الباقي: 1

12 10 = 1100 2

المثال رقم 2
دعونا نحول الرقم 12.3 من النظام العشري إلى نظام الأرقام الثنائية

12.3 10 = 1100.010011001100110011001100110011 2

حل

لنقم بتحويل الجزء الصحيح من الرقم الثاني عشر 12.3 10 إلى نظام الأعداد الثنائي باستخدام القسمة التسلسلية على 2، حتى يصبح الناتج غير المكتمل يساوي الصفر. ستكون النتيجة رقمًا من باقي القسمة مكتوبًا من اليمين إلى اليسار.

12	:	2	=	6	الرصيد: 0
6	:	2	=	3	الرصيد: 0
3	:	2	=	1	الباقي: 1
1	:	2	=	0	الباقي: 1

12 10 = 1100 2

لنقم بتحويل الجزء الكسري 0.3 من الرقم 12.3 10 إلى نظام الأرقام الثنائي باستخدام الضرب المتسلسل في 2، حتى يصبح الجزء الكسري من المنتج صفرًا أو يتم الوصول إلى العدد المطلوب من المنازل العشرية. إذا كانت نتيجة الضرب أن الجزء الصحيح لا يساوي الصفر، فمن الضروري استبدال قيمة الجزء الصحيح بالصفر. ستكون النتيجة رقمًا من الأجزاء الصحيحة للأعمال، مكتوبًا من اليسار إلى اليمين.

0.3	·	2	=	0 .6
0.6	·	2	=	1 .2
0.2	·	2	=	0 .4
0.4	·	2	=	0 .8
0.8	·	2	=	1 .6
0.6	·	2	=	1 .2
0.2	·	2	=	0 .4
0.4	·	2	=	0 .8
0.8	·	2	=	1 .6
0.6	·	2	=	1 .2
0.2	·	2	=	0 .4
0.4	·	2	=	0 .8
0.8	·	2	=	1 .6
0.6	·	2	=	1 .2
0.2	·	2	=	0 .4
0.4	·	2	=	0 .8
0.8	·	2	=	1 .6
0.6	·	2	=	1 .2
0.2	·	2	=	0 .4
0.4	·	2	=	0 .8
0.8	·	2	=	1 .6
0.6	·	2	=	1 .2
0.2	·	2	=	0 .4
0.4	·	2	=	0 .8
0.8	·	2	=	1 .6
0.6	·	2	=	1 .2
0.2	·	2	=	0 .4
0.4	·	2	=	0 .8
0.8	·	2	=	1 .6
0.6	·	2	=	1 .2

0.3 10 = 0.010011001100110011001100110011 2
12.3 10 = 1100.010011001100110011001100110011 2

المثال رقم 3
لنقم بتحويل الرقم 10011 من النظام الثنائي إلى نظام الأرقام العشري
حل

لنقم بتحويل الرقم 10011 2 إلى نظام الأرقام العشري؛ وللقيام بذلك، قم أولاً بتدوين موضع كل رقم في الرقم من اليمين إلى اليسار، بدءًا من الصفر

سيكون كل موضع رقم قوة 2، نظرًا لأن نظام الأرقام مكون من رقمين. ومن الضروري ضرب كل رقم 10011 2 في 2 بالتتابع إلى أس الموضع المقابل للرقم ثم إضافته، يليه حاصل ضرب الرقم التالي إلى أس الموضع المقابل له.

10011 2 = 1 ⋅ 2 4 + 0 ⋅ 2 3 + 0 ⋅ 2 2 + 1 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 = 19 10

المثال رقم 4
لنقم بتحويل الرقم 11.101 من النظام الثنائي إلى نظام الأرقام العشري

11.101 2 = 3.625 10

حل

دعونا نحول الرقم 11.101 2 إلى نظام الأرقام العشري؛ وللقيام بذلك، اكتب أولًا موضع كل رقم في الرقم

سيكون كل موضع رقم قوة 2، نظرًا لأن نظام الأرقام مكون من رقمين. ومن الضروري ضرب كل رقم 11.101 2 في 2 بالتتابع إلى أس الموضع المقابل للرقم ثم إضافته مع المنتج اللاحق للرقم التالي إلى أس الموضع المقابل له.

11.101 2 = 1 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 + 1 ⋅ 2 -1 + 0 ⋅ 2 -2 + 1 ⋅ 2 -3 = 3.625 10

المثال رقم 5
لنقم بتحويل الرقم 1583 من النظام العشري إلى نظام الأرقام الست عشري

1583 10 = 62ف 16

حل

لنقم بتحويل الرقم 1583 10 إلى نظام الأرقام المكون من 16 رقمًا، باستخدام القسمة التسلسلية على 16، حتى يصبح الناتج غير المكتمل يساوي الصفر. ستكون النتيجة رقمًا من باقي القسمة مكتوبًا من اليمين إلى اليسار.

1583	:	16	=	98	الباقي: 15، 15 = ف
98	:	16	=	6	الباقي: 2
6	:	16	=	0	الرصيد: 6

1583 10 = 62ف 16

المثال رقم 6
دعونا نحول الرقم 1583.56 من النظام العشري إلى نظام الأرقام الست عشري

1583.56 10 = 62F.8F5C28F5C28F5C28F5C28F5C28F5C2 16

حل

دعونا نحول الجزء الصحيح 1583 من الرقم 1583.56 10 إلى نظام الأعداد المكون من 16 آري، باستخدام القسمة التسلسلية على 16، حتى يصبح الناتج غير المكتمل يساوي الصفر. ستكون النتيجة رقمًا من باقي القسمة مكتوبًا من اليمين إلى اليسار.

1583	:	16	=	98	الباقي: 15، 15 = ف
98	:	16	=	6	الباقي: 2
6	:	16	=	0	الرصيد: 6

1583 10 = 62ف 16

لنقم بتحويل الجزء الكسري 0.56 من الرقم 1583.56 10 إلى نظام الأرقام المكون من 16 رقمًا، باستخدام الضرب المتسلسل في 16، حتى يصبح الجزء الكسري من المنتج صفرًا أو يتم الوصول إلى العدد المطلوب من المنازل العشرية. إذا كانت نتيجة الضرب أن الجزء الصحيح لا يساوي الصفر، فمن الضروري استبدال قيمة الجزء الصحيح بالصفر. ستكون النتيجة رقمًا من الأجزاء الصحيحة للأعمال، مكتوبًا من اليسار إلى اليمين.

0.56	·	16	=	8 .96
0.96	·	16	=	15.36, 15 = ف
0.36	·	16	=	5 .76
0.76	·	16	=	12.16, 12 = ج
0.16	·	16	=	2 .56
0.56	·	16	=	8 .96
0.96	·	16	=	15.36, 15 = ف
0.36	·	16	=	5 .76
0.76	·	16	=	12.16, 12 = ج
0.16	·	16	=	2 .56
0.56	·	16	=	8 .96
0.96	·	16	=	15.36, 15 = ف
0.36	·	16	=	5 .76
0.76	·	16	=	12.16, 12 = ج
0.16	·	16	=	2 .56
0.56	·	16	=	8 .96
0.96	·	16	=	15.36, 15 = ف
0.36	·	16	=	5 .76
0.76	·	16	=	12.16, 12 = ج
0.16	·	16	=	2 .56
0.56	·	16	=	8 .96
0.96	·	16	=	15.36, 15 = ف
0.36	·	16	=	5 .76
0.76	·	16	=	12.16, 12 = ج
0.16	·	16	=	2 .56
0.56	·	16	=	8 .96
0.96	·	16	=	15.36, 15 = ف
0.36	·	16	=	5 .76
0.76	·	16	=	12.16, 12 = ج
0.16	·	16	=	2 .56

0.56 10 = 0.8F5C28F5C28F5C28F5C28F5C28F5C2 16
1583.56 10 = 62F.8F5C28F5C28F5C28F5C28F5C28F5C2 16

المثال رقم 7
لنقم بتحويل الرقم A12DCF من النظام السداسي العشري إلى نظام الأرقام العشري

A12DCF 16 = 10563023 10

حل

لنقم بتحويل الرقم A12DCF 16 إلى نظام الأرقام العشري؛ للقيام بذلك، قم أولاً بتدوين موضع كل رقم في الرقم من اليمين إلى اليسار، بدءًا من الصفر

سيكون كل موضع رقم هو قوة 16، نظرًا لأن نظام الأرقام مكون من 16 رقمًا. ومن الضروري ضرب كل رقم A12DCF 16 في 16 بالتسلسل أس الموضع المقابل للرقم ثم إضافته، يليه حاصل ضرب الرقم التالي أس الموضع المقابل له.
2

1 0 -1 -2 -3 رقمأ1 2 دجF1 2 أ
سيكون كل موضع رقم هو قوة 16، نظرًا لأن نظام الأرقام مكون من 16 رقمًا. ومن الضروري ضرب كل رقم A12DCF.12A 16 في 16 بالتسلسل للأس الموضع المقابل للرقم ثم إضافة، يليه حاصل ضرب الرقم التالي للأس للموضع المقابل له.
أ 16 = 10 10
د 16 = 13 10
ج16 = 1210
ف 16 = 15 10

A12DCF.12A 16 = 10 ⋅ 16 5 + 1 ⋅ 16 4 + 2 ⋅ 16 3 + 13 ⋅ 16 2 + 12 ⋅ 16 1 + 15 ⋅ 16 0 + 1 ⋅ 16 -1

1 0 رقم1 0 1 0 1 0 0 0 1 1
سيكون كل موضع رقم قوة 2، نظرًا لأن نظام الأرقام مكون من رقمين. من الضروري ضرب كل رقم 1010100011 2 في 2 بالتتابع إلى أس الموضع المقابل للرقم ثم إضافة متبوعًا بمنتج الرقم التالي إلى أس الموضع المقابل له.

1010100011 2 = 1 ⋅ 2 9 + 0 ⋅ 2 8 + 1 ⋅ 2 7 + 0 ⋅ 2 6 + 1 ⋅ 2 5 + 0 ⋅ 2 4 + 0 ⋅ 2 3 + 0 ⋅ 2 2 + 1 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 = 675 10

لنقم بتحويل الرقم 675 10 إلى نظام الأعداد المكون من 16 رقمًا، باستخدام القسمة التسلسلية على 16، حتى يصبح الناتج الجزئي يساوي الصفر. ستكون النتيجة رقمًا من باقي القسمة مكتوبًا من اليمين إلى اليسار.

675	:	16	=	42	الرصيد: 3
42	:	16	=	2	الباقي: 10، 10 = أ
2	:	16	=	0	الباقي: 2

675 10 = 2أ3 16 الغرض من الخدمة. تم تصميم الخدمة لتحويل الأرقام من نظام أرقام إلى آخر عبر الإنترنت. للقيام بذلك، حدد قاعدة النظام الذي تريد تحويل الرقم منه. يمكنك إدخال كل من الأعداد الصحيحة والأرقام بفواصل.

يمكنك إدخال كلا من الأرقام الصحيحة، على سبيل المثال 34، والأرقام الكسرية، على سبيل المثال، 637.333. بالنسبة للأرقام الكسرية، تتم الإشارة إلى دقة الترجمة بعد العلامة العشرية.

يتم استخدام ما يلي أيضًا مع هذه الآلة الحاسبة:

طرق تمثيل الأرقام

الثنائية الأرقام (الثنائية) - كل رقم يعني قيمة بتة واحدة (0 أو 1)، ويتم دائمًا كتابة البت الأكثر أهمية على اليسار، ويتم وضع الحرف "b" بعد الرقم. لسهولة الإدراك، يمكن فصل دفاتر الملاحظات بمسافات. على سبيل المثال، 10100101ب.
السداسي عشري أرقام (ست عشرية) - يتم تمثيل كل رباعي برمز واحد 0...9، A، B، ...، F. يمكن تحديد هذا التمثيل بطرق مختلفة هنا فقط يتم استخدام الرمز "h" بعد الرقم الست عشري الأخير رقم. على سبيل المثال، A5h. في نصوص البرامج، يمكن تعيين نفس الرقم إما 0xA5 أو 0A5h، اعتمادًا على بناء جملة لغة البرمجة. تتم إضافة صفر بادئ (0) إلى يسار الرقم السداسي العشري الأكثر أهمية الذي يمثله الحرف للتمييز بين الأرقام والأسماء الرمزية.
عدد عشري الأرقام (العشرية) - يتم تمثيل كل بايت (كلمة، كلمة مزدوجة) برقم عادي، وعادةً ما يتم حذف علامة التمثيل العشري (الحرف "d"). البايت في الأمثلة السابقة له قيمة عشرية تبلغ 165. على عكس التدوين الثنائي والست عشري، من الصعب تحديد قيمة كل بت عقليًا، وهو أمر ضروري في بعض الأحيان.
ثماني الأرقام (الثمانية) - تتم كتابة كل ثلاثية من البتات (يبدأ القسم من الأقل أهمية) كرقم من 0 إلى 7، مع وجود "o" في النهاية. سيتم كتابة نفس الرقم كـ 245o. النظام الثماني غير مريح لأنه لا يمكن تقسيم البايت بالتساوي.

خوارزمية لتحويل الأرقام من نظام أرقام إلى آخر

يتم تحويل الأعداد العشرية الكاملة إلى أي نظام أرقام آخر عن طريق قسمة الرقم على أساس نظام الأرقام الجديد حتى يبقى الباقي رقمًا أقل من أساس نظام الأرقام الجديد. تتم كتابة العدد الجديد على شكل باقي القسمة، بدءًا من الرقم الأخير.
يتم تحويل الكسر العشري العادي إلى PSS آخر عن طريق ضرب الجزء الكسري فقط من الرقم بقاعدة نظام الأرقام الجديد حتى تبقى جميع الأصفار في الجزء الكسري أو حتى يتم تحقيق دقة الترجمة المحددة. نتيجة لكل عملية ضرب، يتكون رقم واحد من الرقم الجديد، بدءاً بالرقم الأعلى.
تتم ترجمة الكسور غير الصحيحة وفقًا للقاعدتين 1 و 2. تتم كتابة الأجزاء الصحيحة والكسرية معًا، مفصولة بفاصلة.

المثال رقم 1.



التحويل من 2 إلى 8 إلى نظام 16 رقم.
هذه الأنظمة هي مضاعفات الرقم اثنين، وبالتالي تتم الترجمة باستخدام جدول المراسلات (انظر أدناه).

لتحويل رقم من نظام الأرقام الثنائية إلى نظام الأرقام الثماني (الست عشري)، من الضروري تقسيم الرقم الثنائي من العلامة العشرية إلى اليمين واليسار إلى مجموعات مكونة من ثلاثة أرقام (أربعة أرقام سداسي عشري)، مكملة للمجموعات الخارجية مع الأصفار إذا لزم الأمر. يتم استبدال كل مجموعة بالرقم الثماني أو السداسي العشري المقابل.

المثال رقم 2. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
هنا 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1

عند التحويل إلى النظام السداسي العشري، يجب عليك تقسيم الرقم إلى أجزاء من أربعة أرقام، مع اتباع نفس القواعد.
المثال رقم 3. 1010111010,1011 = 10.1011.1010,1011 = 2B12,13 سداسي عشري
هنا 0010=2; 1011=ب; 1010=12; 1011=13

يتم تحويل الأرقام من 2 و 8 و 16 إلى النظام العشري عن طريق تقسيم الرقم إلى أرقام فردية وضربه في قاعدة النظام (الذي يتم ترجمة الرقم منه) مرفوعًا إلى القوة المقابلة لرقمه التسلسلي في الرقم الذي يتم تحويله. في هذه الحالة، يتم ترقيم الأرقام إلى يسار العلامة العشرية (الرقم الأول مرقم 0) بالتزايد، وإلى اليمين بالتناقص (أي بعلامة سالبة). تتم إضافة النتائج التي تم الحصول عليها.

المثال رقم 4.
مثال على التحويل من نظام الأرقام الثنائي إلى النظام العشري.

1010010.101 2 = 1·2 6 +0·2 5 +1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +0·2 0 + 1·2 -1 +0·2 - 2 + 1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0.5+0+0.125 = 82.625 10 مثال للتحويل من نظام الأرقام الثماني إلى النظام العشري. 108.5 8 = 1*·8 2 +0·8 1 +8·8 0 + 5·8 -1 = 64+0+8+0.625 = 72.625 10 مثال للتحويل من نظام الأرقام السداسي العشري إلى النظام العشري. 108.5 16 = 1·16 2 +0·16 1 +8·16 0 + 5·16 -1 = 256+0+8+0.3125 = 264.3125 10

نكرر مرة أخرى خوارزمية تحويل الأرقام من نظام أرقام إلى PSS آخر

1. من نظام الأرقام العشرية:
   • قسمة الرقم على قاعدة نظام الأرقام الجاري ترجمته؛
   • العثور على الباقي عند قسمة جزء صحيح من الرقم؛
   • اكتب كل ما تبقى من القسمة بترتيب عكسي؛
2. من نظام الأرقام الثنائية
   • للتحويل إلى نظام الأرقام العشرية، من الضروري إيجاد مجموع منتجات الأساس 2 حسب درجة الرقم المقابلة؛
   • لتحويل رقم إلى رقم ثماني، تحتاج إلى تقسيم الرقم إلى ثلاثيات.
     على سبيل المثال، 1000110 = 1000 110 = 106 8
   • لتحويل رقم من ثنائي إلى سداسي عشري، تحتاج إلى تقسيم الرقم إلى مجموعات مكونة من 4 أرقام.
     على سبيل المثال، 1000110 = 100 0110 = 46 16

يسمى النظام الموضعي، والتي تعتمد أهمية الرقم أو وزنه على موقعه في الرقم. يتم التعبير عن العلاقة بين الأنظمة في الجدول.
جدول مراسلات نظام الأرقام:

ثنائي SS	سداسي عشري SS
0000	0
0001	1
0010	2
0011	3
0100	4
0101	5
0110	6
0111	7
1000	8
1001	9
1010	أ
1011	ب
1100	ج
1101	د
1110	ه
1111	F

جدول للتحويل إلى نظام الأرقام الثماني

المثال رقم 2. تحويل الرقم 100.12 من نظام الأرقام العشري إلى نظام الأرقام الثماني والعكس. اشرح أسباب التناقضات.
حل.
المرحلة 1. .

نكتب باقي القسمة بترتيب عكسي. نحصل على الرقم في نظام الأرقام الثامن: 144
100 = 144 8

لتحويل الجزء الكسري من رقم، نضرب الجزء الكسري بالتسلسل في الأساس 8. ونتيجة لذلك، في كل مرة نكتب الجزء بأكمله من المنتج.
0.12*8 = 0.96 (جزء صحيح 0 )
0.96*8 = 7.68 (جزء صحيح 7 )
0.68*8 = 5.44 (جزء صحيح 5 )
0.44*8 = 3.52 (جزء صحيح 3 )
نحصل على الرقم في نظام الأرقام الثامن: 0753.
0.12 = 0.753 8

100,12 10 = 144,0753 8

المرحلة 2 تحويل رقم من نظام الأرقام العشري إلى نظام الأرقام الثماني.
عكس التحويل من نظام الأرقام الثماني إلى النظام العشري.

لترجمة جزء صحيح، تحتاج إلى ضرب رقم الرقم في درجة الرقم المقابلة.
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100

لتحويل الجزء الكسري، تحتاج إلى تقسيم رقم الرقم على درجة الرقم المقابلة
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199

144,0753 8 = 100,96 10
يتم تفسير الفرق 0.0001 (100.12 - 100.1199) من خلال خطأ التقريب عند التحويل إلى نظام الأرقام الثماني. يمكن تقليل هذا الخطأ إذا أخذت عددًا أكبر من الأرقام (على سبيل المثال، ليس 4، بل 8).