محتوى المقال

البنية،فرع من الرياضيات يهتم بدراسة خصائص الأشكال (أو الفراغات) التي يتم حفظها تحت التشوهات المستمرة، مثل التمدد أو الضغط أو الانحناء. التشوه المستمر هو تشوه الشكل الذي لا توجد فيه فواصل (أي انتهاك لسلامة الشكل) أو لصق (أي تحديد نقاطه). ترتبط هذه الخصائص الهندسية بالموضع وليس بشكل الشكل أو حجمه. على عكس الهندسة الإقليدية والريمانية، وهندسة لوباشيفسكي وغيرها من الأشكال الهندسية التي تتعامل مع قياس الأطوال والزوايا، فإن الطوبولوجيا لها طابع نوعي وغير متري. وكان يطلق عليه في السابق اسم "تحليل الموقع" (تحليل الموقف)، وكذلك "نظرية مجموعة النقاط". في أدبيات العلوم الشعبية، يُشار إلى الطوبولوجيا غالبًا باسم "هندسة الصفائح المطاطية" لأنه يمكن تصورها على أنها هندسة الأشكال المرسومة على صفائح مطاطية مرنة تمامًا والتي تتعرض للتوتر أو الضغط أو الانحناء. الطوبولوجيا هي واحدة من أحدث فروع الرياضيات.

قصة.

في عام 1640، وجد الفيلسوف وعالم الرياضيات الفرنسي ر. ديكارت (1596-1650) علاقة ثابتة بين عدد القمم والحواف والأوجه لمتعددات الوجوه البسيطة. وقد عبر ديكارت عن هذه العلاقة بالصيغة الخامس - ه + و= 2، حيث الخامس- عدد القمم، ه- عدد الأضلاع و F– عدد الوجوه . في عام 1752، قدم عالم الرياضيات السويسري ل. أويلر (1707-1783) دليلاً صارمًا على هذه الصيغة. مساهمة أخرى من أويلر في تطوير الطوبولوجيا هي حل المشكلة الشهيرة لجسور كونيجسبيرج. كان الأمر يتعلق بجزيرة على نهر بريجيل في كونيجسبيرج (في المكان الذي ينقسم فيه النهر إلى فرعين - بريجيل القديم والجديد) وسبعة جسور تربط الجزيرة بالضفاف. كانت المهمة هي معرفة ما إذا كان من الممكن التجول حول الجسور السبعة على طول طريق مستمر، وزيارة كل منها مرة واحدة فقط والعودة إلى نقطة البداية. استبدل أويلر الكتل الأرضية بالنقاط والجسور بالخطوط. أطلق أويلر على التكوين الناتج اسم رسم بياني، والنقاط هي رؤوسه، والخطوط هي حوافه. قام بتقسيم القمم إلى زوجية وفردية، اعتمادًا على ما إذا كان عدد الحواف الخارجة من الرأس زوجية أم فردية. أظهر أويلر أن جميع حواف الرسم البياني يمكن اجتيازها مرة واحدة بالضبط على طول مسار مغلق مستمر فقط إذا كان الرسم البياني يحتوي على رؤوس زوجية فقط. نظرًا لأن الرسم البياني في مشكلة جسور كونيجسبيرج يحتوي فقط على قمم فردية، فمن المستحيل التجول حول الجسور على طول طريق مستمر، وزيارة كل واحد منها مرة واحدة بالضبط والعودة إلى بداية المسار.

يعتمد حل مشكلة جسور كونيجسبيرج التي اقترحها أويلر فقط على الموقع النسبي للجسور. لقد كان بمثابة البداية الرسمية للطوبولوجيا كفرع من الرياضيات. ابتكر K. Gauss (1777–1855) نظرية العقد، والتي تمت دراستها لاحقًا بواسطة I. List (1808–1882)، P. Tate (1831–1901) وJ. Alexander. في عام 1840، صاغ أ. موبيوس (1790-1868) ما يسمى بمشكلة الألوان الأربعة، والتي تمت دراستها لاحقًا بواسطة أو. دي مورغان (1806-1871) وأ. كايلي (1821-1895). أول عمل منهجي على الطوبولوجيا كان دراسات أولية في الطوبولوجياالقائمة (1874).

مؤسسو الطوبولوجيا الحديثة هم ج. كانتور (1845-1918)، أ. بوانكاريه (1854-1912)، ول. بروير (1881-1966).

أقسام الطوبولوجيا.

يمكن تقسيم الطوبولوجيا إلى ثلاثة مجالات: 1) الطوبولوجيا التوافقية، التي تدرس الأشكال الهندسية عن طريق تقسيمها إلى أشكال بسيطة متجاورة بانتظام مع بعضها البعض؛ 2) الطوبولوجيا الجبرية، والتي تتناول دراسة الهياكل الجبرية المرتبطة بالفضاءات الطوبولوجية، مع التركيز على نظرية المجموعة؛ 3) طوبولوجيا المجموعات النظرية، التي تدرس المجموعات كمجموعات من النقاط (على عكس الطرق التوافقية التي تمثل كائنًا كاتحاد لأشياء أبسط) وتصف المجموعات من حيث الخصائص الطوبولوجية مثل الانفتاح والانغلاق والترابط وما إلى ذلك. وبطبيعة الحال، فإن تقسيم الطوبولوجيا إلى مناطق هو أمر تعسفي إلى حد ما؛ يفضل العديد من علماء الطوبولوجيا التمييز بين الأقسام الأخرى فيه.

بعض المفاهيم الأساسية.

الفضاء الطوبولوجييتكون من العديد من النقاط سومجموعة S من المجموعات الفرعية للمجموعة س، تلبية البديهيات التالية:

(١) المجموعة الكاملة سوالمجموعة الفارغة تنتمي إلى المجموعة S؛

(2) اتحاد أي مجموعة من المجموعات من S هو مجموعة من S؛

(3) تقاطع أي عدد محدود من المجموعات من S هو مجموعة من S.

تسمى المجموعات المضمنة في المجموعة S مجموعات مفتوحة، وهذا يضع نفسه - البنيةالخامس س. سم. نظرية المجموعات.

التحول الطوبولوجي، أو التماثلشكل هندسي واحد سإلى آخر، سў، هو رسم الخرائط ( ص ® صه) نقاط صمن سإلى نقاط صمن سў، مستوفياً الشروط التالية: 1) المراسلات التي يقيمها بين النقاط من سو سў واحد لواحد، أي. كل نقطة صمن سمباراة نقطة واحدة فقط صمن سў وإلى كل نقطة صў يتم عرض نقطة واحدة فقط ص; 2) التعيين مستمر بشكل متبادل (مستمر في كلا الاتجاهين)، أي. إذا تم إعطاء نقطتين ص, سمن سوالفترة صيتحرك بحيث المسافة بينه وبين هذه النقطة سيميل إلى الصفر، ثم المسافة بين النقاط المقابلة صў, سمن سў يميل أيضًا إلى الصفر، والعكس صحيح.

تسمى الأشكال الهندسية التي تتحول إلى بعضها البعض أثناء التحولات الطوبولوجية متماثل. الدائرة وحدود المربع متماثلان، حيث يمكن تحويلهما إلى بعضهما البعض عن طريق التحول الطوبولوجي (أي الانحناء والتمدد دون كسر أو لصق، على سبيل المثال، مد حدود المربع إلى الدائرة المحيطة به). . الكرة وسطح المكعب متماثلان أيضًا. لإثبات أن الأشكال متماثلة، يكفي الإشارة إلى التحويل المقابل، لكن حقيقة أننا لا نستطيع العثور على تحويل لبعض الأشكال لا تثبت أن هذه الأشكال ليست متماثلة. الخصائص الطوبولوجية تساعد هنا.

خاصية طوبولوجية(أو ثابت طوبولوجي) للأشكال الهندسية هي خاصية، إلى جانب شكل معين، يمتلكها أيضًا أي شكل يتحول إليه أثناء التحول الطوبولوجي.

تسمى أي مجموعة متصلة مفتوحة تحتوي على نقطة واحدة على الأقل منطقة.

المنطقة التي يمكن فيها تقليص أي منحنى بسيط مغلق (أي متماثل الشكل إلى دائرة) إلى نقطة ما، ويبقى طوال الوقت في هذه المنطقة، تسمى متصلة ببساطة متصلة ببساطة. إذا كان بعض المنحنى البسيط المغلق لهذه المنطقة لا يمكن تقليصه إلى نقطة ما، ويبقى طوال الوقت في هذه المنطقة، فإن المنطقة تسمى مضاعفة متصلة، والملكية المقابلة للمنطقة هي مضاعفة متصلة. تخيل منطقتين دائريتين، أو قرصين، واحدة بدون ثقوب والأخرى بها ثقوب. المنطقة الأولى متصلة ببساطة، والثانية متصلة بشكل مضاعف. إن التوصيل البسيط والتوصيل المتعدد هما خصائص طوبولوجية. لا يمكن لمنطقة بها ثقب أن تخضع للتجانس مع منطقة بدون ثقوب. ومن المثير للاهتمام أن نلاحظ أنه إذا تم رسم قطع في قرص متصل بشكل مضاعف من كل فتحة من الفتحات إلى حافة القرص، فإنه يصبح متصلاً ببساطة.

يسمى الحد الأقصى لعدد المنحنيات المنفصلة البسيطة المغلقة التي يمكن قطع سطح مغلق دون تقسيمه إلى أجزاء منفصلة أصلا منالأسطح. الجنس هو ثابت طوبولوجي للسطح. يمكن إثبات أن جنس الكرة يساوي صفرًا، وجنس الطارة (سطح الدونات) واحد، وجنس البسكويت (طوق ذو فتحتين) اثنين، وجنس السطح هو صالثقوب متساوية ص. ويترتب على ذلك أنه لا سطح المكعب ولا الكرة متماثلان بالنسبة للطارة.

من بين الثوابت الطوبولوجية للسطح، يمكن أيضًا ملاحظة عدد الجوانب وعدد الحواف. القرص له وجهان، حافة واحدة والجنس 0. والطارة لها وجهان، وليس لها حواف، وجنسها 1.

تسمح لنا المفاهيم المقدمة أعلاه بتوضيح تعريف الطوبولوجيا: الطوبولوجيا هي فرع من الرياضيات يدرس الخصائص التي يتم الحفاظ عليها في ظل التماثل.

قضايا ونتائج مهمة.

نظرية المنحنى المغلق في الأردن.

إذا تم رسم منحنى مغلق بسيط على سطح ما، فهل هناك أي خاصية للمنحنى يتم الحفاظ عليها عندما يتشوه السطح؟ إن وجود مثل هذه الخاصية يتبع من النظرية التالية: منحنى مغلق بسيط على المستوى يقسم المستوى إلى منطقتين، داخلية وخارجية. هذه النظرية التي تبدو تافهة واضحة بالنسبة للمنحنيات البسيطة، مثل الدائرة؛ ومع ذلك، بالنسبة للخطوط المتعددة المغلقة المعقدة فإن الوضع مختلف. تمت صياغة النظرية وإثباتها لأول مرة بواسطة ك. جوردان (1838-1922)؛ لكن تبين أن دليل الأردن كان خاطئًا. تم اقتراح دليل مُرضٍ من قبل أو. فيبلين (1880-1960) في عام 1905.

نظرية النقطة الثابتة لبروير.

يترك د– منطقة مغلقة مكونة من دائرة وداخلها. تنص نظرية بروير على أنه لأي تحول مستمر يأخذ كل نقطة من المنطقة دإلى نقطة في نفس المنطقة، هناك نقطة معينة تبقى ثابتة أثناء هذا التحول. (لا يُفترض أن يكون التحويل واحدًا لواحد.) تعتبر نظرية النقطة الثابتة لبروير ذات أهمية خاصة لأنها تبدو أنها النظرية الطوبولوجية الأكثر استخدامًا في فروع الرياضيات الأخرى.

مشكلة الألوان الأربعة.

المشكلة هي كما يلي: هل يمكن تلوين أي خريطة بأربعة ألوان بحيث يتم تلوين أي دولتين تشتركان في الحدود بشكل مختلف؟ إن مشكلة الألوان الأربعة هي مشكلة طوبولوجية، حيث لا يهم شكل البلدان ولا شكل الحدود.

تم طرح فرضية أن أربعة ألوان كافية لتلوين أي خريطة بشكل صحيح لأول مرة في عام 1852. وأظهرت التجربة أن أربعة ألوان كانت كافية بالفعل، ولكن لم يكن من الممكن الحصول على دليل رياضي صارم لأكثر من مائة عام. فقط في عام 1976، حقق K. Appel و W. Haken من جامعة إلينوي النجاح، بعد أن أمضيا أكثر من 1000 ساعة في استخدام الكمبيوتر.

الأسطح أحادية الجانب.

أبسط سطح من جانب واحد هو شريط موبيوس، سميت على اسم أ. موبيوس، الذي اكتشف خصائصها الطوبولوجية غير العادية في عام 1858. دعونا ا ب ت ث(الصورة 2، أ) - شريط مستطيل من الورق. إذا قمت بلصق نقطة أمع نقطة ب، و نقطة جمع نقطة د(الصورة 2، ب)، فتحصل على حلقة ذات سطح داخلي وسطح خارجي وحافتين. جانب واحد من الحلبة (الشكل 2، ب) يمكن رسمها. سيقتصر السطح المطلي على حواف الحلقة. يمكن للخنفساء أن تسافر حول العالم في حلقة، وتبقى إما على سطح مطلي أو غير مطلي. ولكن إذا قمت بتحريف الشريط نصف دورة قبل لصق الأطراف ولصق النقطة أمع نقطة ج، أ بمع د، ثم تحصل على شريط موبيوس (الشكل 2، الخامس). هذا الشكل له سطح واحد فقط وحافة واحدة. أي محاولة لتلوين جانب واحد فقط من شريط موبيوس محكوم عليها بالفشل، لأن شريط موبيوس له جانب واحد فقط. ستعود الخنفساء التي تزحف على طول منتصف شريط موبيوس (دون عبور الحواف) إلى نقطة البداية في وضع مقلوب. عند قطع شريط موبيوس على طول خط الوسط، فإنه لا ينقسم إلى قسمين.

عقدة.

يمكن اعتبار العقدة بمثابة قطعة متشابكة من حبل رفيع ذو أطراف متصلة تقع في الفضاء. أبسط مثال هو عمل حلقة من قطعة حبل، وتمرير أحد طرفيها خلال الحلقة وربط الأطراف. ونتيجة لذلك، نحصل على منحنى مغلق يظل كما هو من الناحية الطوبولوجية، بغض النظر عن كيفية تمديده أو تلويه، دون تمزيق أو لصق النقاط الفردية معًا. لم يتم حل مشكلة تصنيف العقد وفقًا لنظام الثوابت الطوبولوجية بعد.

شرط طوبولوجيا الشبكة تعني طريقة لتوصيل أجهزة الكمبيوتر بالشبكة. قد تسمع أيضًا أسماء أخرى - هيكل الشبكة أو تكوين شبكة (نفس الشيء). بالإضافة إلى ذلك، يتضمن مفهوم الطوبولوجيا العديد من القواعد التي تحدد وضع أجهزة الكمبيوتر، وطرق وضع الكابلات، وطرق وضع معدات التوصيل، وأكثر من ذلك بكثير. حتى الآن، تم تشكيل وإنشاء العديد من الطبولوجيا الأساسية. ومن هذه يمكن أن نلاحظ " إطار العجلة”, “جرس" و " نجمة”.

طوبولوجيا الحافلة

البنية إطار العجلة (أو كما يطلق عليه غالبا حافلة مشتركة أو الطريق السريع ) يتضمن استخدام كبل واحد تتصل به كافة محطات العمل. يتم استخدام الكابل المشترك من قبل جميع المحطات بدورها. يتم استلام جميع الرسائل المرسلة من محطات العمل الفردية والاستماع إليها بواسطة كافة أجهزة الكمبيوتر الأخرى المتصلة بالشبكة. ومن هذا الدفق، تقوم كل محطة عمل بتحديد الرسائل الموجهة إليها فقط.

مزايا طوبولوجيا الحافلة:

• سهولة الإعداد
• سهولة التركيب النسبية والتكلفة المنخفضة إذا كانت جميع محطات العمل موجودة في مكان قريب؛
• لا يؤثر فشل محطة عمل واحدة أو أكثر بأي شكل من الأشكال على تشغيل الشبكة بأكملها.

عيوب طوبولوجيا الحافلة:

• تؤدي مشكلات الناقل في أي مكان (انقطاع الكابل، فشل موصل الشبكة) إلى عدم إمكانية تشغيل الشبكة؛
• صعوبة في استكشاف الأخطاء وإصلاحها.
• أداء منخفض - في أي وقت يمكن لجهاز كمبيوتر واحد فقط نقل البيانات إلى الشبكة، مع زيادة عدد محطات العمل، ينخفض ​​أداء الشبكة؛
• قابلية التوسع ضعيفة - لإضافة محطات عمل جديدة، من الضروري استبدال أقسام الناقل الحالي.

لقد تم بناء الشبكات المحلية عليها وفقًا لطوبولوجيا "الحافلة". كابل متحد المحور. في هذه الحالة، تعمل أقسام الكابل المحوري المتصلة بواسطة موصلات T بمثابة الناقل. تم وضع الحافلة في جميع الغرف واقتربت من كل جهاز كمبيوتر. تم إدخال الطرف الجانبي للموصل T في الموصل الموجود على بطاقة الشبكة. هذا هو ما يبدو: الآن أصبحت هذه الشبكات قديمة بشكل ميؤوس منه وتم استبدالها في كل مكان بكابلات زوجية ملتوية "نجمية"، ولكن لا يزال من الممكن رؤية معدات الكابلات المحورية في بعض الشركات.

طوبولوجيا الحلقة

جرس هي طوبولوجيا شبكة محلية حيث يتم توصيل محطات العمل ببعضها البعض في سلسلة، وتشكل حلقة مغلقة. يتم نقل البيانات من محطة عمل إلى أخرى في اتجاه واحد (في دائرة). يعمل كل جهاز كمبيوتر كمكرر، حيث يقوم بنقل الرسائل إلى جهاز الكمبيوتر التالي، أي. يتم نقل البيانات من كمبيوتر إلى آخر كما لو كان في سباق التتابع. إذا استقبل جهاز كمبيوتر بيانات مخصصة لجهاز كمبيوتر آخر، فإنه ينقلها على طول الحلقة؛

مزايا طوبولوجيا الحلقة:

• سهولة التركيب؛
• الغياب شبه الكامل للمعدات الإضافية؛
• إمكانية التشغيل المستقر دون انخفاض كبير في سرعة نقل البيانات في ظل حمل الشبكة الثقيل.

ومع ذلك، فإن "الحلقة" لها أيضًا عيوب كبيرة:

• يجب أن تشارك كل محطة عمل بنشاط في نقل المعلومات؛ إذا فشل واحد منهم على الأقل أو انقطع الكابل، يتوقف تشغيل الشبكة بأكملها؛
• يتطلب توصيل محطة عمل جديدة إيقاف تشغيل الشبكة على المدى القصير، حيث يجب أن تكون الحلقة مفتوحة أثناء تثبيت جهاز كمبيوتر جديد؛
• تعقيد التكوين والإعداد.
• صعوبة في استكشاف الأخطاء وإصلاحها.

نادرًا ما يتم استخدام طوبولوجيا الشبكة الحلقية. وجدت تطبيقها الرئيسي في شبكات الألياف الضوئيةمعيار حلقة الرمز.

طوبولوجيا النجوم

نجمة عبارة عن طوبولوجيا شبكة محلية حيث يتم توصيل كل محطة عمل بجهاز مركزي (محول أو جهاز توجيه). يتحكم الجهاز المركزي في حركة الحزم في الشبكة. يتم توصيل كل كمبيوتر عبر بطاقة الشبكة بالمحول باستخدام كابل منفصل. إذا لزم الأمر، يمكنك الجمع بين عدة شبكات مع طوبولوجيا النجمة - ونتيجة لذلك سوف تحصل على تكوين الشبكة مع يشبه الشجرة البنية. طوبولوجيا الشجرة شائعة في الشركات الكبيرة. لن نتناولها بالتفصيل في هذه المقالة.

أصبحت طوبولوجيا "النجمة" اليوم هي الهيكل الرئيسي في بناء الشبكات المحلية. حدث هذا بسبب مزاياه العديدة:

• لا يؤثر فشل محطة عمل واحدة أو تلف الكابل الخاص بها على تشغيل الشبكة بأكملها؛
• قابلية توسعة ممتازة: لتوصيل محطة عمل جديدة، ما عليك سوى وضع كابل منفصل عن المحول؛
• سهولة استكشاف الأخطاء وإصلاحها وانقطاع الشبكة؛
• أداء عالي؛
• سهولة الإعداد والإدارة.
• يمكن دمج المعدات الإضافية بسهولة في الشبكة.

ومع ذلك، مثل أي طوبولوجيا، فإن "النجم" لا يخلو من عيوبه:

• سيؤدي فشل المفتاح المركزي إلى عدم تشغيل الشبكة بأكملها؛
• تكاليف إضافية لمعدات الشبكة - جهاز سيتم توصيل جميع أجهزة الكمبيوتر الموجودة على الشبكة به (التبديل)؛
• يقتصر عدد محطات العمل على عدد المنافذ الموجودة في المحول المركزي.

نجمة - الطوبولوجيا الأكثر شيوعًا للشبكات السلكية واللاسلكية. مثال على الهيكل النجمي هو شبكة بها كابل مزدوج ملتوي ومفتاح كجهاز مركزي. هذه هي الشبكات الموجودة في معظم المنظمات.

التوزيع المادي أو المنطقي لعقد الشبكة. تحدد الطوبولوجيا المادية الاتصالات المادية (الروابط) بين العقد. تصف الطوبولوجيا المنطقية الاتصالات المحتملة بين عقد الشبكة. في الشبكات المحلية، الثلاثة الأكثر شيوعًا... ...

البنية- بالمعنى الواسع مجال الرياضيات الذي يدرس الطوبولوجيا. خصائص تتحلل. الرياضيات. والجسدية أشياء. حدسي، إلى طوبولوجي وتشمل هذه خصائص عالية الجودة ومستقرة لا تتغير مع التشوه. الرياضيات. إضفاء الطابع الرسمي على فكرة الطوبولوجية ملكيات... ... الموسوعة الفيزيائية

البنية- العلم دراسة المحليات. قاموس الكلمات الأجنبية المدرجة في اللغة الروسية. Chudinov A.N., 1910. الطوبولوجيا (gr. topos place, Terrain + ...logy) فرع من الرياضيات يدرس الخصائص الأكثر عمومية للأشكال الهندسية (الخصائص، وليس ... ...) قاموس الكلمات الأجنبية للغة الروسية

البنية- الطوبولوجيا، فرع من الرياضيات يدرس خصائص الأشكال الهندسية التي تظل دون تغيير تحت أي تشوه: الضغط، والتمدد، والالتواء (ولكن دون كسر أو لصق). الكوب ذو المقبض يعادل طوبولوجيًا كعكة الدونات. مكعب،... ... القاموس الموسوعي العلمي والتقني

البنية- (من مكان و...علم التوبوس اليوناني) فرع من الرياضيات يدرس الخصائص الطوبولوجية للأشكال، أي الخصائص التي لا تتغير تحت أي تشوهات تنتج دون فواصل ولصق (بتعبير أدق، تحت واحد إلى واحد و مستمر... ... القاموس الموسوعي الكبير

البنية- طوبولوجيا، طوبولوجيا، كثيرة. لا يا انثى (من مكان التوبوس اليوناني وتعليم الشعارات) (حصيرة). جزء من الهندسة يدرس الخصائص النوعية للأشكال (أي مستقلة عن مفاهيم مثل الطول والزوايا والاستقامة وما إلى ذلك). قاموس…… قاموس أوشاكوف التوضيحي

البنية- الاسم، عدد المرادفات: 1 رياضيات (29) قاموس المرادفات ASIS. ف.ن. تريشين. 2013… قاموس المرادفات

البنية- الطوبولوجيا فرع من فروع الرياضيات يدرس خواص الأشكال الهندسية التي لا تتغير تحت التشوهات التي تحدث دون انقطاع. قاموس المصطلحات التجارية. Akademik.ru. 2001... قاموس المصطلحات التجارية

طوبولوجيا IC- - [Ya.N.Luginsky، M.S.Fezi Zhilinskaya، Yu.S.Kabirov. القاموس الإنجليزي الروسي للهندسة الكهربائية وهندسة الطاقة، موسكو، 1999] موضوعات الهندسة الكهربائية، المفاهيم الأساسية EN تخطيط الدوائر المتكاملة ... دليل المترجم الفني

كتب

• طوبولوجيا النواتج المنحرفة، ن. ستينرود، القارئ مدعو لكتاب من تأليف عالم الرياضيات الأمريكي الشهير نورمان ستينرود، والذي يعرض فيه ولأول مرة في الأدب الرياضي أسس نظرية النواتج المنحرفة، على نطاق واسع... الفئة: طوبولوجيا السلسلة: تراث الفيزياء والرياضيات: الرياضيات (تاريخ الرياضيات) الناشر: ليبروكوم، شراء مقابل 568 فرك.
• طوبولوجيا للبكالوريوس في الرياضيات. دليل الدراسة، Ignatochkina Liya Anatolyevna، دليل الدراسة كتبه طلاب السنة الثانية من MIGU الذين يدرسون في برنامج البكالوريوس "الرياضيات". يشرح بشكل مفهوم لطلاب السنة الإعدادية... التصنيف: العلوم الرياضيةالناشر:

القاموس التوضيحي للغة الروسية. د.ن. أوشاكوف

البنية

طوبولوجيا، كثيرة الآن. (من التوبوس اليوناني - المكان والشعارات - التدريس) (حصيرة). جزء من الهندسة يدرس الخصائص النوعية للأشكال (أي مستقلة عن مفاهيم مثل الطول والزوايا والاستقامة وما إلى ذلك).

القاموس التوضيحي الجديد للغة الروسية، T. F. Efremova.

البنية

و. فرع من فروع الرياضيات يدرس الخصائص النوعية للأشكال الهندسية، بغض النظر عن أطوالها، أو زواياها، أو استقامتها، وما إلى ذلك.

القاموس الموسوعي، 1998

البنية

الطوبولوجيا (من الكلمة اليونانية توبوس - المكان و... المنطق) هو فرع من الرياضيات يدرس الخصائص الطوبولوجية للأشكال، أي. الخصائص التي لا تتغير تحت أي تشوهات يتم إنتاجها دون فواصل أو لصق (بتعبير أدق، مع التعيينات الفردية والمستمرة). من أمثلة الخصائص الطوبولوجية للأشكال البعد، وعدد المنحنيات التي تحيط بمساحة معينة، وما إلى ذلك. وبالتالي، فإن الدائرة والقطع الناقص ومخطط المربع لها نفس الخصائص الطوبولوجية، لأن يمكن تشويه هذه الخطوط إلى بعضها البعض بالطريقة الموضحة أعلاه؛ في الوقت نفسه، تتمتع الحلقة والدائرة بخصائص طوبولوجية مختلفة: الدائرة محدودة بكفاف واحد، والحلقة باثنتين.

البنية

(من الكلمة اليونانية توبوس ≈ مكان و ¼ لوجي) ≈ جزء من الهندسة مخصص لدراسة ظاهرة الاستمرارية (يتم التعبير عنها، على سبيل المثال، في مفهوم الحد). أدى تنوع مظاهر الاستمرارية في الرياضيات وتعدد المناهج المختلفة في دراستها إلى تفكك الرياضيات الموحدة إلى عدد من الأقسام ("الرياضيات العامة"، "الرياضيات الجبرية" وغيرها)، تختلف عن بعضها البعض في الموضوع وطريقة الدراسة وفي الواقع لا ترتبط ببعضها البعض إلا قليلاً. I. الطوبولوجيا العامة يُطلق على الجزء من النظرية الموجه نحو الدراسة البديهية للاستمرارية اسم النظرية العامة، إلى جانب الجبر، تشكل النظرية العامة أساس المنهج النظري الحديث في الرياضيات. من الناحية البديهية، يمكن تعريف الاستمرارية بعدة طرق (بشكل عام، غير متكافئة). تعتمد البديهيات المقبولة عمومًا على مفهوم المجموعة المفتوحة. البنية الطوبولوجية، أو الطوبولوجيا، في المجموعة X هي عائلة من مجموعاتها الفرعية، تسمى مجموعات مفتوحة، بحيث: 1) المجموعة الفارغة Æ وكل X مفتوحة؛ 2) اتحاد أي عدد وتقاطع عدد منتهٍ من المجموعات المفتوحة مفتوح. تسمى المجموعة التي يُعطى فيها البنية الطوبولوجية بالفضاء الطوبولوجي. في الفضاء الطوبولوجي X يمكن تحديد جميع المفاهيم الأساسية للتحليل الأولي المتعلق بالاستمرارية. على سبيل المثال، جوار نقطة x О X عبارة عن مجموعة مفتوحة عشوائية تحتوي على هذه النقطة؛ تسمى المجموعة A Ì X مغلقة إذا كان مكملها X \ A مفتوحا؛ إغلاق المجموعة A هو أصغر مجموعة مغلقة تحتوي على A؛ إذا تزامن هذا الإغلاق مع X، يقال أن A كثيف في كل مكان في X، وما إلى ذلك. بحكم التعريف، Æ وX كلاهما مجموعتان مغلقتان ومفتوحتان. إذا لم تكن هناك مجموعات أخرى مغلقة ومفتوحة في X، فإن الفضاء الطوبولوجي X يسمى الفضاء المتصل. تتكون المساحة المتصلة بصريًا من "قطعة" واحدة، بينما تتكون المساحة المنفصلة من عدة قطع. أي مجموعة فرعية A للفضاء الطوبولوجي X لها بنية طوبولوجية طبيعية تتكون من تقاطعات مع A للمجموعات المفتوحة من X. مجهزة بهذا الهيكل A تسمى مساحة فرعية للفضاء X. يصبح كل فضاء متري طوبولوجيًا إذا تم أخذ مجموعاته المفتوحة إلى تكون مجموعات تحتوي، مع نقطة اختيارية، على بعض جوارها الإلكتروني (كرة نصف قطرها e متمركزة عند هذه النقطة). على وجه الخصوص، أي مجموعة فرعية من الفضاء الإقليدي ذو الأبعاد n هي فضاء طوبولوجي. عادة ما يتم تضمين نظرية هذه المساحات (تحت اسم "النظرية الهندسية") ونظرية المساحات المترية في النظرية العامة طبيعة عامة (مثال على ذلك ما يسمى بنظرية الاستمرارية، أي المجموعات المغلقة المتصلة والمحدودة)، ودراسة الطرق التي يمكن من خلالها دمج الفضاءات الطوبولوجية البسيطة مثل الكرة والكرة وما إلى ذلك في . (الاستثمارات في المجالات، على سبيل المثال، يمكن أن تكون معقدة للغاية). الغطاء المفتوح للفضاء الطوبولوجي X هو عائلة من مجموعاتها المفتوحة، التي يمثل اتحادها كامل X. ويسمى الفضاء الطوبولوجي X مضغوطًا (في مصطلحات أخرى، ثنائي الضغط) إذا كان أي من أغطيته المفتوحة يحتوي على عدد محدود من العناصر التي تشكل الغطاء أيضًا. تنص نظرية هاين ≈ بوريل الكلاسيكية على أن أي مجموعة فرعية مغلقة ومحدودة هي مجموعة مضغوطة. لقد اتضح أن جميع النظريات الأساسية للتحليل الأولي حول المجموعات المغلقة المحدودة (على سبيل المثال، نظرية فايرستراس التي تنص على أن الدالة المستمرة تصل إلى أكبر قيمة لها في مثل هذه المجموعة) صالحة لأي مساحات طوبولوجية مدمجة. وهذا ما يحدد الدور الأساسي الذي تلعبه المساحات المدمجة في الرياضيات الحديثة (خاصة فيما يتعلق بنظريات الوجود). كان تحديد فئة الفضاءات الطوبولوجية المدمجة أحد أعظم إنجازات النظرية العامة، وله أهمية رياضية عامة. يُقال إن الغلاف المفتوح (Vb) منقوش في الغلاف (Ua) إذا كان لأي b وجود مثل Vb Ì Ua. يُسمى الغطاء (Vb) بأنه محدود محليًا إذا كانت كل نقطة x Î X لها حي يتقاطع فقط مع عدد محدود من عناصر هذا الغطاء. يُقال إن الفضاء الطوبولوجي متماسك إذا كان أي غطاء مفتوح منه يمكن أن يحتوي على غطاء محدود محليًا. تعتبر فئة الفضاءات المتماسكة مثالاً لفئات الفضاءات الطوبولوجية التي يتم الحصول عليها عن طريق فرض ما يسمى بشروط نوع الاكتناز. هذه الفئة واسعة جدًا؛ على وجه الخصوص، تحتوي على جميع الفضاءات الطوبولوجية القابلة للقياس، أي الفضاءات X التي من الممكن فيها إدخال مقياس r بحيث يتطابق T الناتج عن r في X مع T المحدد في X. غطاء مفتوح هو الأكبر حيث يكون الرقم k بحيث يكون هناك k من عناصره لها تقاطع غير فارغ. أصغر رقم n، الذي لديه خاصية أنه يمكن إدراج غطاء مفتوح من التعدد £n + 1 في أي غطاء مفتوح محدود للفضاء الطوبولوجي X، يُشار إليه بالرمز dimX ويسمى البعد X. هذا الاسم هو يبرر ذلك حقيقة أنه في المواقف الهندسية الأولية يتزامن dimX مع البعد المفهوم المعتاد، على سبيل المثال dim = n. من الممكن أيضًا إجراء وظائف عددية أخرى للفضاء الطوبولوجي X، تختلف عن dimX، ولكن في أبسط الحالات تتزامن مع dimX. دراستهم هي موضوع النظرية العامة للبعد، الجزء الأكثر توجهاً هندسيًا في T العام. فقط في إطار هذه النظرية يمكن، على سبيل المثال، إعطاء تعريف واضح وعام إلى حد ما للمفهوم البديهي للشكل الهندسي، وعلى وجه الخصوص، مفهوم الخط والسطح وما إلى ذلك. يتم الحصول على فئات مهمة من الفضاءات الطوبولوجية من خلال فرض ما يسمى ببديهيات الفصل. ومن الأمثلة على ذلك ما يسمى بديهية هاوسدورف، أو البديهية T2، والتي تتطلب أن يكون لأي نقطتين مختلفتين مجاورتان منفصلتان. والفضاء الطوبولوجي الذي يحقق هذه البديهية يسمى هاوسدورف، أو قابل للفصل. لبعض الوقت في الممارسة الرياضية، تمت مواجهة فضاءات هاوسدورف بشكل حصري تقريبًا (على سبيل المثال، أي فضاء متري هو هاوسدورف). ومع ذلك، فإن دور الفضاءات الطوبولوجية غير هاوسدورف في التحليل والهندسة يتزايد باستمرار. تسمى الفضاءات الطوبولوجية التي هي فضاءات فرعية من الفضاءات المضغوطة هاوسدورف (ثنائية) منتظمة تماما أو تيخونوف. كما يمكن أن تتميز ببعض بديهيات قابلية الانفصال، وهي: بديهية تتطلب أنه لأي نقطة x0 ذكّرX وأي مجموعة مغلقة F lagX لا تحتوي عليها، توجد دالة متصلة g: X ╝ تساوي صفر عند x0 وواحد على F. تسمى الفضاءات الطوبولوجية التي هي مساحات فرعية مفتوحة من مساحات هاوسدورف المدمجة الفضاءات المدمجة محليا. وتتميز (في فئة فضاءات هاوسدورف) بحقيقة أن كل نقطة من نقاطها لها حي ذو إغلاق مدمج (مثال: الفضاء الإقليدي). يتم استكمال أي مساحة من هذا القبيل بنقطة واحدة إلى مساحة مدمجة (على سبيل المثال: بإضافة نقطة واحدة من المستوى نحصل على كرة ذات متغير معقد، ومن ≈ كرة S n). A التعيين f: X ╝ Y من الفضاء الطوبولوجي X إلى الفضاء الطوبولوجي Y يسمى تعيينًا مستمرًا إذا كانت المجموعة f≈1(V) مفتوحة في X لأي مجموعة مفتوحة V М Y. ويسمى التعيين المستمر بالتماثل المتماثل إذا كان واحدًا لواحد والتعيين العكسي f≈ 1: Y ╝ X مستمر. ينشئ مثل هذا التعيين مراسلات فردية بين مجموعات مفتوحة من الفضاءات الطوبولوجية X وY، قابلة للتبديل من خلال عمليات اتحاد وتقاطع المجموعات. ولذلك، فإن جميع الخصائص الطوبولوجية (أي الخصائص المصاغة بدلالة المجموعات المفتوحة) لهذه الفضاءات هي نفسها، ومن وجهة نظر طوبولوجية، فإن الفضاءات الطوبولوجية المتجانسة (أي الفضاءات التي يوجد لها تماثل واحد على الأقل X ╝ Y) يجب اعتبارها هي نفسها (تمامًا كما هو الحال في الأشكال الهندسية الإقليدية التي يمكن دمجها عن طريق الحركة تعتبر متطابقة). على سبيل المثال، دائرة وحدود المربع والشكل السداسي وما إلى ذلك هي متجانسة ("متطابقة طوبولوجيًا"). بشكل عام، أي خطين مغلقين بسيطين (بدون نقاط مزدوجة) يعتبران متجانسين. على العكس من ذلك، فإن الدائرة ليست متماثلة للخط المستقيم (لأن إزالة نقطة لا تنتهك ترابط الدائرة، ولكنها تنتهك ترابط الخط المستقيم؛ وللسبب نفسه، فإن الخط المستقيم ليس متماثلًا لخط مستقيم) المستوى، والدائرة ليست متجانسة مع الرقم ثمانية). الدائرة أيضًا ليست متجانسة مع المستوى (لا تتخلص من نقطة واحدة بل نقطتين). دع (Xa) ≈ عائلة اعتباطية من الفضاءات الطوبولوجية. خذ بعين الاعتبار المجموعة X لجميع عائلات النموذج (xa)، حيث xa lagXa (المنتج المباشر للمجموعات Xa). بالنسبة لأي a، تحدد الصيغة بعض التعيينات (يسمى الإسقاط). بشكل عام، في X يمكن تقديم العديد من الهياكل الطوبولوجية التي تكون جميع الخرائط متصلة بها. من بين هذه الهياكل، هناك أصغر واحد (أي موجود في أي هيكل من هذا القبيل). تسمى المجموعة X المجهزة بهذه البنية الطوبولوجية بالمنتج الطوبولوجي للفضاءات الطوبولوجية Xa ويشار إليها بالرمز PHa (وفي حالة العدد المحدود من العوامل بالرمز X1 `...` Xn). بشكل صريح، يمكن وصف المجموعات المفتوحة للمساحة X على أنها اتحادات من التقاطعات المحدودة لجميع مجموعات النموذج حيث يكون Ua مفتوحًا في Xa. يتمتع الفضاء الطوبولوجي X بالخاصية الرائعة التالية للعالمية، والتي تميزه بشكل فريد (حتى التجانس): بالنسبة لأي عائلة من التعيينات المستمرة fa: Y ╝ Xa، هناك تعيين مستمر فريد f: Y ╝ X والذي تسامح للجميع أ. المساحة μ هي المنتج الطوبولوجي لعدد n من مثيلات خط الأعداد. إحدى أهم نظريات النظرية العامة هي القول بأن المنتج الطوبولوجي للمساحات الطوبولوجية المدمجة يكون مضغوطًا. إذا كانت X ≈ مساحة طوبولوجية، وY ≈ مجموعة عشوائية، وإذا تم تعيين p: X ╝ Y للمساحة X على المجموعة Y (على سبيل المثال، إذا كانت Y عبارة عن مجموعة حاصلة لـ X ببعض علاقة التكافؤ، و p عبارة عن رسم تخطيطي إسقاطي طبيعي لكل عنصر x Î X هو فئة التكافؤ الخاصة به)، ثم يمكننا إثارة مسألة إدخال بنية طوبولوجية في Y حيث يكون التعيين p مستمرًا. يتم الحصول على مثل هذا الهيكل "الأغنى" (في المجموعات المفتوحة) من خلال اعتبار جميع المجموعات المفتوحة في Y جميع المجموعات V Ì Y التي تكون المجموعة f‑1(V) Ì X مفتوحة فيها X. المجموعة Y المجهزة بهذا يُطلق على البنية الطوبولوجية اسم مساحة الحاصل للفضاء الطوبولوجي X (بالنسبة إلى p). لها خاصية أن التعيين التعسفي f: Y ╝ Z يكون مستمرًا إذا وفقط إذا كان التعيين lag: X ╝ Z مستمرًا التعيين المستمر p: X ╝ Y يسمى عاملًا إذا كان الفضاء الطوبولوجي Y عبارة عن فضاء عامل الفضاء الطوبولوجي فيما يتعلق بـ p X. التعيين المستمر p: X ╝ Y يُسمى مفتوحًا إذا كانت المجموعة p(U) مفتوحة في Y لأي مجموعة مفتوحة U Ì X، ومغلقة إذا كانت لأي مجموعة مغلقة F Ì X ال مجموعة p(F) مغلقة في Y. كيف تكون الخرائط المستمرة المفتوحة والمغلقة f: X ╝ Y التي f(X) = Y مضروبة. دع X ≈ فضاء طوبولوجي، A ≈ فضاءه الجزئي، و f: A ╝ Y ≈ خريطة مستمرة. بافتراض أن الفضاءين الطوبولوجيين X وY منفصلان، فإننا نقدم بنية طوبولوجية في اتحادهما X È Y، مع الأخذ في الاعتبار أن اتحادات المجموعات المفتوحة من X وY هي مجموعات مفتوحة. بعد ذلك، نقدم في الفضاء X È Y أصغر تكافؤ العلاقة التي يكون فيها a ~ f(a) لأي نقطة a Î A. تتم الإشارة إلى مساحة الحاصل المقابلة بالرمز X È fY، ويقال أنه تم الحصول عليها عن طريق لصق الفضاء الطوبولوجي X إلى الفضاء الطوبولوجي Y على طول A بواسطة وسائل الخريطة المستمرة f. وتبين أن هذه العملية البسيطة والبديهية مهمة جدًا، لأنها تتيح للمرء الحصول على عمليات أكثر تعقيدًا من مساحات طوبولوجية بسيطة نسبيًا. إذا كانت Y تتكون من نقطة واحدة، فإن المسافة X È fY يُشار إليها بالرمز X/A ويُقال أنه تم الحصول عليها من X عن طريق تقليص A إلى نقطة. على سبيل المثال، إذا كان X ≈ قرصًا، و A ≈ دائرة حدوده، فإن X/A يكون متماثل الشكل بالنسبة للكرة. 2. طوبولوجيا موحدةيُطلق على جزء النظرية الذي يدرس المفهوم البديهي للاستمرارية الموحدة النظرية الموحدة. ويتم نقل تعريف الاستمرارية الموحدة للوظائف العددية، المعروفة من التحليل، مباشرة إلى تعيينات لأي مساحات مترية. لذلك، عادة ما يتم الحصول على بديهيات الاستمرارية المنتظمة بدءًا من المسافات المترية. تم استكشاف نهجين بديهيين للاستمرارية الموحدة، استنادًا إلى مفاهيم القرب والتطويق القطري، بالتفصيل. المجموعات الفرعية A وB من الفضاء المتري X تسمى قريبة (تدوين AdB) إذا كانت هناك نقاط a Î A وb Î B لأي e > 0، المسافة بينهما< e. Принимая основные свойства этого отношения за аксиомы, приходят к следующему определению: (отделимой) структурой близости на множестве Х называется такое отношение d на множестве всех его подмножеств, что: 1) ÆX (символом обозначается отрицание отношения d; 2) AB1 и AB2Û A(B1 U B2); ═3) {x}{y} Û x ¹ y;4) если АВ, то существует такое множество С В, что А(Х\С). Множество, в котором задана структура близости, называется пространством близости. Отображение пространства близости Х в пространство близости Y называется близостно непрерывным, если образы близких в Х множеств близки в Y. Пространства близости Х и Y называются близостно гомеоморфными (или эквиморфными), если существует взаимно однозначное близостно непрерывное отображение X ╝ Y, обратное к которому также является близостно непрерывным (такое близостно непрерывное отображение называется эквиморфизмом). В равномерной Т. эквиморфные пространства близости рассматриваются как одинаковые. Подобно метрическим пространствам, любое пространство близости можно превратить в (хаусдорфово) топологическое пространство, считая подмножество u Ì x открытым, если {x}(X \U) для любой точки х Î U. При этом близостно непрерывные отображения окажутся непрерывными отображениями. Класс топологических пространств, получающихся описанным образом из пространств близости, совпадает с классом вполне регулярных топологических пространств. Для любого вполне регулярного пространства Х все структуры близости на X, порождающие его топологическую структуру, находятся во взаимно однозначном соответствии с так называемыми компактификациями (в другой терминологии ≈ би-компактными расширениями) вХ ≈ компактными хаусдорфовыми топологическими пространствами, содержащими Х в качестве всюду плотного пространства. Структура близости d, соответствующая расширению вХ, характеризуется тем, что АdВ тогда и только тогда, когда замыкания множеств А и В пересекаются в bX. В частности, на любом компактном хаусдорфовом топологическом пространстве Х существует единственная структура близости, порождающая его топологическую структуру. Другой подход основан на том, что равномерную непрерывность в метрическом пространстве Х можно определить в терминах отношения «точки х и у находятся на расстоянии, не большем e». С общей точки зрения, отношение на Х есть не что иное как произвольное подмножество U прямого произведения Х ` X. Отношение «тождество» является с этой точки зрения диагональю D Ì Х ` X, то есть множеством точек вида (х, х), х Î X. Для любого отношения U определено обратное отношение U≈1 = {(х, у); (у, х) Î U } и для любых двух отношений U и V определена их композиция U × V = {(х, у); существует z Î Х такое, что (х, z) Î U, (z, y) Î V }. Семейство отношений {U } называется (отделимой) равномерной структурой на Х (а отношения U называется окружениями диагонали), если: 1) пересечение любых двух окружений диагонали содержит окружение диагонали; 2) каждое окружение диагонали содержит D, и пересечение всех окружений диагонали совпадает с D; 3) вместе с U окружением диагонали является и U≈1; 4) для любого окружения диагонали U существует такое окружение диагонали W, что W o W Ì U. Множество, наделённое равномерной структурой, называется равномерным пространством. Отображение f: X ╝ Y равномерного пространства Х в равномерное пространство Y называется равномерно непрерывным, если прообраз при отображении f ` f: Х ` Х ╝ Y ` Y любого окружения диагонали V Ì Y ` Y содержит некоторое окружение диагонали из Х ` X. Равномерные пространства Х и Y называются равномерно гомеоморфными, если существует взаимно однозначное равномерно непрерывное отображение Х ╝ Y, обратное к которому также является равномерно непрерывным отображением. В равномерной Т. такие равномерные пространства считаются одинаковыми. Каждая равномерная структура на Х определяет некоторую структуру близости: АdВ тогда и только тогда, когда (A ` В) Ç U ¹ Æ для любого окружения диагонали U Ì X ` X. При этом равномерно непрерывные отображения оказываются близостно непрерывными. 3. الطوبولوجيا الجبرية دع كل فضاء طوبولوجي X (من فئة ما) يرتبط ببعض الكائنات الجبرية h(X) (مجموعة، حلقة، وما إلى ذلك)، ودع كل خريطة مستمرة f: X ╝ Y ≈ بعض التماثل h(f) : h( X ) ╝ h(Y) (أو h(f) : h(Y) ╝ h(X) وهي تماثل الهوية عندما تكون f هي خريطة الهوية. إذا h(f1 lagf2) = h(f1) lagh( f2) (أو، على التوالي، h(f1 lagf2) = h(f2) h(f1)، فإننا نقول أن h عامل (على التوالي، عامل مساعد). معظم المشاكل في النظرية الجبرية مرتبطة بطريقة أو بأخرى لمشكلة الانتشار التالية: من أجل تعيين مستمر معين f: A ╝ Y للفضاء الفرعي A Ì X في بعض الفضاء الطوبولوجي Y، ابحث عن تعيين مستمر g: X ╝ Y يتزامن مع A مع f، أي أن f = g×i، حيث i: A ╝ X ≈ تضمين التعيين (i(a) = a لأي نقطة а О A إذا كان هذا التعيين المستمر g موجودًا، فبالنسبة لأي عامل (عامل مساعد) h يوجد تجانس (j). : h(X) ╝ h(Y) (التماثل j: h(Y) ╝ h(X)))، بحيث h(f) = j lagh(i) (على التوالي، h(f) = h(i) lagj); سيكون التماثل j = h(g). وبالتالي، فإن عدم وجود التماثل j (على الأقل بالنسبة لعامل واحد h) يعني عدم وجود التعيين g. يمكن في الواقع اختزال جميع طرق جبر T إلى هذا المبدأ البسيط، على سبيل المثال، هناك دالة h قيمتها على الكرة E n هي مجموعة تافهة، وعلى الكرة S n≈1 ≈ مجموعة غير بديهية تحيط بالكرة. . هذا يعني بالفعل عدم وجود ما يسمى بالتراجع ≈ التعيين المستمر pr: E n╝ S n≈1، ثابت على S n≈1، أي أن التركيبة pr×i، حيث i: S n‑1 ╝ E n ≈ تضمين التعيين، هو تعيين هوية (إذا كان p موجودًا، فإن تعيين هوية المجموعة h(S n≈1) سيكون عبارة عن تركيبة من التعيينات h(i) : h(S n≈1) ╝ h (E n) و h(p) : h( E n) ╝ h(S n≈1)، وهو أمر مستحيل لمجموعة تافهة h(E n). ومع ذلك، فإن هذه الحقيقة الهندسية الأولية و(لـ n = 2) الواضحة بصريًا (تعني فعليًا إمكانية مد الأسطوانة على طوق دائري) لم يتم إثباتها بعد دون استخدام الأساليب الطوبولوجية الجبرية. والنتيجة المباشرة لها هي القول بأن أي تعيين مستمر f: E n╝ E n له نقطة ثابتة واحدة على الأقل، أي أن المعادلة f(x) = x لها حل واحد على الأقل في E n (إذا كان f(x) ¹ x للجميع x О E n، مع الأخذ في الاعتبار أن p(x) هي نقطة من S n≈1، على خط مستقيم مع النقطتين f(x) وx بحيث يكون الجزء ذو الأطراف f(x) وp(x ) يحتوي على x، نحصل على التراجع п: E n╝ S n≈1). كانت نظرية النقطة الثابتة هذه إحدى النظريات الأولى للنظرية الجبرية، ثم أصبحت مصدرًا لسلسلة كاملة من النظريات المختلفة حول وجود حلول للمعادلات. بشكل عام، إثبات عدم وجود التماثل (j أسهل، كلما كان الهيكل الجبري للأشياء h(X) أكثر تعقيدًا). ​​لذلك، في النظريات الجبرية، يتم أخذ الأشياء الجبرية ذات الطبيعة المعقدة للغاية في الاعتبار، ومتطلبات الجبر حفزت الطوبولوجيا بشكل كبير تطور الجبر المجرد. يُطلق على الفضاء الطوبولوجي X اسم الفضاء الخلوي، بالإضافة إلى القسم الخلوي (أو مجمع CW)، إذا كان يحتوي على تسلسل متزايد من الفضاءات الجزئية X 0 М ¼ М X n≈1 М. X n М ¼ (تسمى الهياكل العظمية للفضاء الخلوي X)، الذي يكون اتحاده هو X بأكمله، ويتم استيفاء الشروط التالية: 1) تكون المجموعة U Ì X مفتوحة في X إذا وفقط إذا لأي n المجموعة U ç X n مفتوحة في X n؛ 2) يتم الحصول على X n من X n≈1 عن طريق لصق عائلة معينة من الكرات ذات الأبعاد n على طول حدودها (n≈1) ذات الأبعاد (عن طريق التعيين المستمر التعسفي لهذه المجالات إلى X n≈1)؛ 3) يتكون X0 من نقاط معزولة. وبالتالي، فإن بنية الفضاء الخلوي تتكون، بشكل تقريبي، من حقيقة أنه يتم تمثيله كاتحاد مجموعات متماثلة الشكل للكرات المفتوحة (تسمى هذه المجموعات خلايا). في التقنيات الجبرية، تتم دراسة المساحات الخلوية بشكل حصري تقريبًا، حيث أن خصوصية مشاكل التقنيات الجبرية بالنسبة لهم قد ظهرت بالفعل بشكل كامل. علاوة على ذلك، في الواقع، بعض المساحات الخلوية البسيطة بشكل خاص (مثل متعددات الوجوه، انظر أدناه) هي ذات أهمية للنظرية الجبرية، ولكن تضييق فئة المساحات الخلوية، كقاعدة عامة، يعقد الدراسة بشكل كبير (نظرًا لأن العديد من العمليات المفيدة على المساحات الخلوية مشتقة من فئة متعددات الوجوه). تسمى خريطتان متصلتان f, g: X ╝ Y متماثلتين إذا كان من الممكن تشويههما بشكل مستمر في بعضهما البعض، أي إذا كانت هناك عائلة من الخرائط المستمرة ft: X ╝ Y التي تعتمد بشكل مستمر على المعلمة t О مثل f0 = f و f1 = g (الاعتماد المستمر على t يعني أن الصيغة F(x, t) = ft(x), x О X, t О تحدد خريطة مستمرة F: X ` ╝ Y؛ هذه الخريطة، وكذلك تسمى العائلة (ft) بالتماثل، حيث تربط f بـ g). تنقسم مجموعة جميع التعيينات المستمرة X ╝ Y إلى فئات متجانسة من التعيينات المتجانسة مع بعضها البعض. يُشار إلى مجموعة فئات التجانس من التعيينات المستمرة من X إلى Y بالرمز . إن دراسة خصائص العلاقات المثلية، وعلى وجه الخصوص، المجموعات هي موضوع ما يسمى بطوبولوجيا المثلية (أو نظرية المثلية). بالنسبة للمساحات الطوبولوجية الأكثر إثارة للاهتمام، تكون المجموعات محدودة أو قابلة للعد ويمكن حسابها بوضوح بكفاءة. يُطلق على الفضاءين الطوبولوجيين X وY اسم المكافئ المتماثل، أو لهما نفس النوع المتماثل، إذا كانت هناك خرائط مستمرة f: X ╝ Y وg: Y ╝ X بحيث تكون الخرائط المستمرة g×f: X ╝ X وf×g: Y ╝ Y متماثلة لتعيينات الهوية المقابلة. في نظرية التجانس، ينبغي اعتبار مثل هذه المساحات متطابقة (جميع "ثوابتها المتماثلة" متطابقة). اتضح أنه في كثير من الحالات (خاصة بالنسبة للمساحات الخلوية) تعتمد إمكانية حل مشكلة الانتشار فقط على فئة التماثل المتماثل للرسم المستمر f: A ╝ Y; بشكل أكثر دقة، إذا كان التوزيع g: X ╝ Y موجودًا بالنسبة لـ f، فبالنسبة لأي تماثل متماثل ft: A ╝ Y (مع f0 = f) يوجد توزيع gt: X ╝ Y بحيث يكون g0 = g. لذلك، بدلاً من f، يمكننا أن نفكر في فئة التماثل المتماثل [f]، ووفقًا لهذا، ندرس فقط الدوال الثابتة المتماثلة (المشتركة) h، أي أن h(f0) = h(f1) إذا كانت الخرائط f0 و f1 متماثلان. يؤدي هذا إلى تشابك وثيق بين النظرية الجبرية والتماثلية بحيث يمكن اعتبارهما تخصصًا واحدًا. بالنسبة لأي فضاء طوبولوجي Y، فإن الصيغ h(X) = و h(f) =، حيث f: X1 ╝ X2 و j: X2 ╝ Y، تحدد بعض الوظائف المساعدة المتماثلة الثابتة h، والتي يقال إنها ممثلة بالفضاء الطوبولوجي Y. هذه الطريقة ≈ القياسية (والوحيدة أساسًا) لبناء العوامل المساعدة المتماثلة الثابتة. لكي تتحول المجموعة h(X) إلى مجموعة، على سبيل المثال، من الضروري اختيار Y وفقًا لذلك، على سبيل المثال، اشتراط أن تكون مجموعة طوبولوجية (بشكل عام، هذا ليس صحيحًا تمامًا: إنه من الضروري اختيار نقطة ما x0 في X والنظر فقط في الخرائط المستمرة والنماذج المتجانسة، ومع ذلك، سيتم تجاهل تحويل x0 إلى وحدة المجموعة؛ علاوة على ذلك، يكفي أن تكون Y زمرة طوبولوجية “بالمعنى المثلي”، أي أن بديهيات الترابط ووجود عنصر معكوس (التي تؤكد في الواقع تطابق خرائط معينة) لن يتم استيفائها إلا “إلى ما يصل إلى المثلية. تسمى هذه الفضاءات الطوبولوجية بمساحات H. وبالتالي، فإن كل H-space Y تحدد عاملًا مساعدًا ثابتًا متماثلًا h(X) = ، وقيمه عبارة عن مجموعات. بطريقة مشابهة ("مزدوجة")، يتم تعريف كل فضاء طوبولوجي Y بواسطة الصيغ h(X) = , h(f) = , حيث f: X1 ╝ X2 و j: Y ╝ X1، بعض المؤثر h. لكي تكون h(X) مجموعة، يجب أن يكون لدى Y بنية جبرية معينة، بمعنى محدد جيدًا مزدوجًا لبنية الفضاء H. تسمى المساحات الطوبولوجية الممنوحة بهذه البنية مساحات مشتركة. مثال على الفضاء المشترك H هو المجال ذو الأبعاد n S n (بالنسبة لـ n ³ 1). وهكذا، بالنسبة لأي فضاء طوبولوجي X، تحدد الصيغة pnX = مجموعة معينة pnX، n ³ 1، والتي تسمى المجموعة المتجانسة n للفضاء X. بالنسبة إلى n = 1، فإنها تتزامن مع المجموعة الأساسية. بالنسبة إلى n > 1، تكون المجموعة pnX تبادلية. إذا كانت p1X= (1)، فإن X تسمى ببساطة متصلة. يُطلق على الفضاء الخلوي X اسم الفضاء K(G, n) إذا كان pi(X) = 0 لـ i ¹ n وpnX = G؛ يوجد مثل هذا الفضاء الخلوي لأي n ³ 1 وأي مجموعة G (إبدالية لـ n > 1) ويتم تعريفه بشكل فريد حتى التكافؤ المتجانس. بالنسبة إلى n > 1 (وأيضًا بالنسبة إلى n = 1، إذا كانت المجموعة G تبادلية)، فإن المساحة K(G, n) تتحول إلى مساحة H وبالتالي تمثل مجموعة معينة H n(X; G) = . تُسمى هذه المجموعة مجموعة cohomology ذات الأبعاد n للفضاء الطوبولوجي X مع مجموعة المعاملات G. وهي تمثل نموذجيًا لعدد من العوامل المساعدة المهمة، بما في ذلك، على سبيل المثال، K-functor KO(X) = [X, BO]، ويمثلها ما يسمى بـ Grassmannian BO ذات الأبعاد اللانهائية، ومجموعة cobordism الموجهة WnX، وما إلى ذلك. إذا كانت G حلقة، فإن المجموع المباشر H*(X; G) للمجموعات H n(X; G) هو جبر على G. علاوة على ذلك، فإن هذا المجموع المباشر له بنية جبرية معقدة للغاية، حيث (بالنسبة لـ G) = Zp، حيث Zp ≈ مجموعة دورية من الرتبة p) تتضمن الإجراء على H*(X; G) لبعض الجبر غير التبادلي p، والذي يسمى جبر ستينرود. يسمح تعقيد هذا الهيكل، من ناحية، بتطوير طرق فعالة (ولكنها ليست بسيطة على الإطلاق) لحساب المجموعات H n(X; G)، ومن ناحية أخرى، إنشاء اتصالات بين المجموعات H n( X؛ G) وغيرها من العوامل الثابتة المتماثلة (على سبيل المثال، مجموعات المتماثلة pnX)، والتي غالبًا ما تجعل من الممكن حساب هذه العوامل بشكل صريح. تاريخيًا، سبقت مجموعات علم التجانس ما يسمى بمجموعات التماثل Hn(X; G)، وهي مجموعات متماثلة pnM(X, G) لبعض الفضاء الخلوي M(X, G)، تم إنشاؤها بشكل فريد من الفضاء الخلوي X و المجموعة ز. إن مجموعات التماثل والتجانس هي بمعنى ما مزدوجة لبعضها البعض، ونظرياتها متكافئة بشكل أساسي. ومع ذلك، فإن البنية الجبرية الموجودة في مجموعات التماثل أقل شهرة (على سبيل المثال، هذه المجموعات لا تشكل جبرًا، ولكن ما يسمى بجبر الفحم)، وبالتالي تستخدم مجموعات التماثل عادة في الحسابات. في الوقت نفسه، في بعض الأسئلة، تكون مجموعات التماثل أكثر ملاءمة، لذلك يتم دراستها أيضا. يُطلق على جزء النظرية الجبرية الذي يتعامل مع دراسة (وتطبيق) مجموعات التماثل وعلم التماثل نظرية التماثل. إن نقل نتائج النظرية الجبرية إلى فضاءات أكثر عمومية من الفضاءات الخلوية هو موضوع ما يسمى بالنظرية الجبرية العامة، وعلى وجه الخصوص، تدرس نظرية التماثل العام مجموعات التماثل والتماثل للفضاءات الطوبولوجية العشوائية وتطبيقاتها. اتضح أنه خارج فئة المساحات الخلوية المدمجة، تؤدي الأساليب المختلفة لبناء هذه المجموعات، بشكل عام، إلى نتائج مختلفة، لذلك بالنسبة للمساحات الطوبولوجية غير الخلوية تنشأ سلسلة كاملة من مجموعات التماثل والتماثل المختلفة. التطبيق الرئيسي للنظرية العامة للتماثل هو في نظرية البعد وفي نظرية ما يسمى بقوانين الازدواجية (التي تصف العلاقة بين الخصائص الطوبولوجية لمجموعتين فرعيتين إضافيتين من الفضاء الطوبولوجي)، وقد تم تحفيز تطورها إلى حد كبير حسب احتياجات هذه النظريات. 4. طوبولوجيا خطية متعددة الجوانب تسمى المجموعة الفرعية Р О μ مخروطًا ذو قمة a وقاعدة B إذا كانت كل نقطة من نقاطها تنتمي إلى قطعة واحدة من الشكل ab، حيث b О В تسمى المجموعة الفرعية Х О μ متعدد السطوح إذا كان أي منها النقاط لها جوار في X، وإغلاقها عبارة عن مخروط ذو أساس مضغوط. التعيين المستمر f: X ╝ Y للمتعددات الوجوه يسمى خطيًا متعدد الوجوه إذا كان خطيًا على أشعة كل حي مخروطي لأي نقطة x О X. رسم خطي متعدد الوجوه واحد لواحد، ومعكوسه أيضًا خطي متعدد التعريف ، ويسمى التماثل الخطي القطعي. موضوع النظرية الخطية متعددة التعريف هو دراسة متعددات الوجوه وتخطيطاتها الخطية متعددة التعريف. في النظرية الخطية متعددة الوجوه، تعتبر متعددات الوجوه متطابقة إذا كانت متماثلة خطيًا. مجموعة فرعية X О μif وفقط إذا كانت متعددة وجوه (مدمجة) إذا كانت تمثل اتحاد عائلة (محدودة) من متعددات الوجوه المحدبة. يمكن تمثيل أي متعدد الوجوه على أنه اتحاد من البساطة المتقاطعة فقط على طول الوجوه. ويسمى هذا التمثيل التثليث متعدد السطوح. يتم تحديد كل تثليث بشكل فريد من خلال مخططه المبسط، أي مجموعة جميع رؤوسه، والتي يتم فيها تمييز المجموعات الفرعية، وهي مجموعات من القمم ذات الرؤوس البسيطة. لذلك، بدلاً من متعددات الوجوه، يمكننا فقط النظر في مخططات مبسطة لتثليثاتها. على سبيل المثال، باستخدام مخطط مبسط يمكن للمرء حساب مجموعات التماثل والتماثل. يتم ذلك على النحو التالي: أ) يُطلق على البسيط الذي يتم ترتيب رؤوسه بطريقة معينة اسم بسيط مرتب لتثليث معين (أو مخطط مبسط) K؛ تسمى المجموعات الخطية الرسمية من التبسيطات المرتبة لبعد معين n مع معاملات من مجموعة معينة G سلاسل n-الأبعاد؛ جميعهم يشكلون بشكل طبيعي مجموعة، والتي يُشار إليها بالرمز C n(K; G); ب) من خلال إزالة الرأس بالرقم i، 0 £ i £ n، من أمر بسيط ذو أبعاد n، نحصل على أمر بسيط (n≈1) ذو أبعاد بسيطة، والذي يُشار إليه بالرمز s(i)؛ السلسلة 👉 تسمى الحد s؛ بواسطة الخطية، يمتد التعيين إلى التجانس 😢: Cn(K; G) ╝ Cn-1 (K; G); ج) السلاسل c التي تسمى δ = 0 دورات؛ وهي تشكل مجموعة الدورات Zn(K; G); د) تسمى سلاسل النموذج الحدود؛ وهي تشكل المجموعة الحدودية Bn(K; G); هـ) ثبت أن Bn(K; G) М Zn(K; G) (الحدود عبارة عن دورة)؛ وبالتالي فإن مجموعة الحاصل Hn(K; G) = Zn(K; G)/ Bn(K; G) محددة. اتضح أن المجموعة Hn(K; G) متماثلة لمجموعة التماثل Hn(X; G) للمتعدد السطوح X، والذي K عبارة عن تثليث. بناء مماثل، لا يبدأ من السلاسل، بل من السلاسل (وظائف تعسفية محددة في مجموعة من جميع البسطاء المرتبة ويأخذ القيم في G)، يعطي مجموعات علم التجانس. مع هذا البناء، المقدم هنا في شكل معدل قليلاً، بدأ تكوين T الجبري بشكل أساسي. في البناء الأصلي، تم النظر في ما يسمى بالبساطات الموجهة (فئات من البساطات المرتبة التي تتميز بتباديل القمم). تم تطوير هذا التصميم وتعميمه في مجموعة واسعة من الاتجاهات. وعلى وجه الخصوص، أدت جوانبه الجبرية إلى ظهور ما يسمى بالجبر المتماثل. في الطريقة الأكثر عمومية، يمكن تعريف المخطط البسيط على أنه مجموعة يتم فيها تمييز مجموعات فرعية محددة معينة ("البساطات")، ومن المطلوب أن تكون أي مجموعة فرعية من البسيط مرة أخرى بسيطة. مثل هذا المخطط المبسط هو مخطط مبسط لتثليث بعض متعددات السطوح إذا وفقط إذا كان عدد عناصر مجموعة فرعية محددة عشوائيًا لا يتجاوز بعض الأرقام الثابتة. ومع ذلك، يمكن تعميم مفهوم متعدد الوجوه (بعد الحصول على ما يسمى "متعددات الوجوه اللانهائية الأبعاد")، ومن ثم فإن أي مخطط مبسط سيكون مخططًا لتثليث بعض متعددات الوجوه (يسمى تحقيقها الهندسي). يمكن ربط الغطاء المفتوح التعسفي (Ua) لكل مساحة طوبولوجية X بمخطط مبسط، تكون رؤوسه عبارة عن عناصر Ua للغطاء ويتم وضع علامة على مجموعة فرعية منه إذا وفقط إذا كانت عناصر الغطاء التي تشكل هذه المجموعة الفرعية لديك تقاطع غير فارغ. يُطلق على هذا المخطط البسيط (والمتعدد السطوح المقابل) اسم العصب المُغطي. إن أعصاب جميع الأغطية الممكنة تقارب إلى حد ما الفضاء X، واستنادًا إلى مجموعات التماثل والتماثل الخاصة بها، فمن الممكن، عن طريق ممر مناسب إلى الحد، الحصول على مجموعات التماثل والتماثل الخاصة بـ X نفسها الفكرة تكمن وراء جميع بنيات النظرية العامة للتماثل تقريبًا. إن تقريب الفضاء الطوبولوجي بواسطة أعصاب أغطيته المفتوحة يلعب أيضًا دورًا مهمًا بشكل عام T. 5. طوبولوجيا المشعبات يُطلق على الفضاء الطوبولوجي المقارن لهاوسدورف اسم مشعب طوبولوجي متعدد الأبعاد إذا كان "إقليديًا محليًا"، أي إذا كانت كل نقطة من نقاطه لها جوار (يسمى حي إحداثي، أو خريطة) متماثل الشكل للفضاء الطوبولوجي. في هذا الحي، يتم تحديد النقاط بواسطة أرقام n x1، ┘، xn، تسمى الإحداثيات المحلية. عند تقاطع خريطتين، يتم التعبير عن الإحداثيات المحلية المقابلة من حيث بعضها البعض من خلال وظائف معينة تسمى وظائف الانتقال. تحدد هذه الوظائف تماثلًا للمجموعات المفتوحة، يُسمى تماثلًا انتقاليًا. دعونا نتفق على تسمية التماثل الاعتباطي بين المجموعات المفتوحة من تشابه التماثل t. التماثل الذي هو عبارة عن تشابه خطي متعدد التعريف سيسمى التماثل p، وإذا تم التعبير عنه من خلال وظائف سلسة (قابلة للتمييز بأي عدد من المرات)، ≈ s-التماثل. دع a = t، p أو s. يُطلق على المتشعب الطوبولوجي اسم مشعب-أ إذا تم اختيار تغطيته بالخرائط بحيث تكون التماثلات الانتقالية لأي اثنتين من خرائطه (المتقاطعة) هي تشابهات-أ. يحدد مثل هذا الغطاء بنية a على المشعب الطوبولوجي X. وبالتالي، فإن المشعب t هو ببساطة أي مشعب طوبولوجي يسمى المشعبات الخطية المتعددة التعريف. كل مشعب خطي متعدد السطوح هو متعدد السطوح. في فئة جميع متعددات الوجوه، تتميز المتشعبات الخطية متعددة الأبعاد بحقيقة أن أيًا من نقاطها لها جوار متعدد الأشكال متماثل خطيًا للمكعب متعدد الأبعاد. تسمى المتشعبات s بالمشعبات الملساء (أو القابلة للتفاضل). خريطة a يُطلق على المشعب a رسم خرائط مستمر عشوائي لـ a = t، لـ a = s ≈ رسم خرائط خطي متعدد التعريف، لـ a = s ≈ رسم خرائط سلس عشوائي، أي رسم خرائط مستمر مكتوب بالإحداثيات المحلية من خلال وظائف سلسة. تُسمى خريطة a واحد لواحد، والتي يكون معكوسها أيضًا خريطة a، باسم a-homeomorphism (من أجل a = s أيضًا اختلاف الشكل)، ويطلق على المتشعبات X و Y اسم a-homeomorphic (من أجل a = s ≈ diffeomorphic) إذا كان موجودًا على الرغم من أنه سيكون هناك تماثل واحد X ╝ Y. موضوع نظرية المتشعبات هو دراسة المتشعبات وخرائطها؛ في هذه الحالة، تعتبر المشعبات a المتجانسة متطابقة. نظرية الأصناف s هي جزء من T الخطي القطعي. وتسمى نظرية الأصناف s أيضًا T السلس. الطريقة الرئيسية لنظرية التنوع الحديثة هي تقليل مشاكلها إلى مشاكل جبرية Ts. لبعض الفضاءات الطوبولوجية المبنية بشكل مناسب. هذا الارتباط الوثيق بين نظرية الأصناف والنظرية الجبرية جعل من الممكن، من ناحية، حل العديد من المشكلات الهندسية الصعبة، ومن ناحية أخرى، حفز بشكل كبير تطوير النظرية الجبرية نفسها ومن أمثلة الأصناف الملساء ن-. الأسطح ذات الأبعاد التي لا تحتوي على نقاط فردية. اتضح (نظرية التضمين) أن أي مشعب أملس يكون مختلفًا عن مثل هذا السطح (بالنسبة لـ N ³ 2n + 1). والنتيجة المماثلة صحيحة أيضًا بالنسبة لـ a = t، p. كل صنف p هو صنف t. اتضح أنه في أي متشعب s يمكن للمرء إدخال بنية p بطريقة طبيعية (والتي تسمى عادة تثليث Aithead). يمكننا القول أن أي تنوع أ حيث a = p أو s هو تنوع a▓ حيث a▓ = t أو p. الإجابة على السؤال المعاكس: ما هي المشعبات a▓ التي يمكن تقديم بنية a (مثل المشعب a▓ لـ a▓ = p يسمى سلسًا، وبالنسبة لـ a▓ = t ≈مثلثًا)، وإذا كان الأمر كذلك، كم عدد؟ ≈ يعتمد على البعد n. لا يوجد سوى مشعبين طوبولوجيين أحاديي البعد: الدائرة S1 (المشعب المضغوط) والخط المستقيم 👉 (المشعب غير المضغوط). لأي a = p, s هناك بنية a فريدة على المشعبات t S1 و lag. وبالمثل، على أي مشعب طوبولوجي ثنائي الأبعاد (سطح) يوجد هيكل فريد من نوعه، ويمكن وصف جميع الأسطح المتصلة المدمجة بسهولة (يمكن أيضًا وصف الأسطح المتصلة غير المدمجة، ولكن الإجابة أكثر تعقيدًا). لكي تكون الأسطح متماثلة الشكل، يكفي أن تكون متكافئة متجانسة. علاوة على ذلك، فإن النوع المتجانس لأي سطح يتميز بشكل فريد بمجموعاته المتماثلة. هناك نوعان من الأسطح: موجهة وغير قابلة للتوجيه. ومن بين التوجهات هي الكرة S2 والطارة T2. دع X و Y ≈ اثنين من المشعبات ذات الأبعاد n المتصلة. دعونا نقطع كرة في X وY (للقرص n = 2 ≈) ونلصق المجالات الحدودية الناتجة (للدائرة n = 2 ≈). مع مراعاة بعض الاحتياطات الواضحة، تكون النتيجة مرة أخرى متنوعة. يطلق عليه مجموع متصل من المشعبات X و Y ويرمز له بـ X#Y. على سبيل المثال، T2#T2 له شكل البسكويت المملح. الكرة S n هي صفر هذه الإضافة، أي S n # X = X لأي X. على وجه الخصوص، S2 # T2 = T2. اتضح أن السطح القابل للتوجيه هو متجانس لمجموع متصل من النموذج S2#T2#┘#T2، ويسمى عدد p من مصطلحات T2 بجنس السطح. بالنسبة للكرة p = 0، بالنسبة للحلقة p = 1، إلخ. هـ. يمكن تمثيل سطح من النوع p بشكل مرئي على شكل كرة يتم لصق "المقابض" عليها. كل سطح غير قابل للتوجيه يكون متجانسًا مع مجموع متصل P2# ¼ #P2 لعدد معين من المستويات الإسقاطية P2. يمكن تخيلها على أنها كرة يتم لصق العديد من أوراق Mobius عليها. في كل متشعب طوبولوجي ثلاثي الأبعاد لأي a = p, s يوجد أيضًا هيكل فريد ومن الممكن وصف جميع أنواع التشعب الطوبولوجي ثلاثي الأبعاد (ومع ذلك، لم تعد مجموعات التماثل كافية لهذا الغرض). في الوقت نفسه، حتى الآن (1976) لم يتم وصف جميع المتشعبات الطوبولوجية ثلاثية الأبعاد (على الأقل المتصلة المدمجة) لنوع متجانس معين. لم يتم القيام بذلك حتى بالنسبة للمشعبات المتصلة ببساطة (جميعها مكافئة للكرة S3). ينص حدسية بوانكاريه على أن أي متشعب من هذا القبيل هو متجانس مع S 3. بالنسبة للمشعبات الطوبولوجية رباعية الأبعاد (المدمجة والمتصلة)، فإن مسألة وجود وتفرد الهياكل a (a = p, s) لم يتم حلها بعد، ويتم وصف نوع التجانس الخاص بهم فقط في ظل افتراض الترابط ببساطة. من غير المعروف ما إذا كان نظير تخمين بوانكاريه صالحًا بالنسبة لهم. من اللافت للنظر أنه بالنسبة للمشعبات الطوبولوجية المدمجة والمتصلة ذات البعد n ³ 5، فإن الوضع مختلف تمامًا: يمكن اعتبار جميع المشكلات الرئيسية بالنسبة لهم محلولة من حيث المبدأ (وبتعبير أدق، يمكن اختزالها في مشاكل النظرية الجبرية). يمكن تضمين أي مشعب X أملس كسطح أملس (ذو أبعاد n)؛ وتشكل المتجهات المماسية لـ X بعض المتشعب السلس الجديد TX، والذي يسمى حزمة الظل للمشعب السلس X. بشكل عام، حزمة المتجهات فوق الفضاء الطوبولوجي X هي فضاء طوبولوجي E حيث يتم تعيين مستمر p: E ╝ يتم إعطاء X بحيث يكون لكل نقطة x О X صورة معكوسة v (طبقة) مساحة متجهة ويوجد غطاء مفتوح (Ua) للمساحة X بحيث تكون الصورة المعكوسة p≈1(Ua) متماثلة الشكل بالنسبة لأي صورة للمنتج Ua ` ، وهناك تجانس p≈1(Ua) ╝ Ua ` ، تعيين خطي لكل طبقة p≈1(x), x О Ua, على مساحة المتجه (x) ` . عندما تكون E = TX، فإن التعيين المستمر p يرتبط بكل متجه ظل بنقطة تماسه، بحيث تكون الطبقة p≈1(x) هي الظل المكاني لـ X عند النقطة x. اتضح أن أي حزمة متجهة على مساحة مضغوطة X تحدد بعض عناصر المجموعة KO(X). وبالتالي، على وجه الخصوص، بالنسبة لأي مشعب X أملس ومدمج ومتصل في المجموعة KO(X)، يتم تعريف عنصر يتوافق مع حزمة الظل. يطلق عليه المتغير العرضي للصنف السلس X. يوجد نظير لهذا البناء لأي أ. بالنسبة لـ a = p، يتم لعب دور المجموعة KO(X) بواسطة مجموعة أخرى، يُشار إليها بـ KPL(X)، وبالنسبة لـ a = t، يتم لعب دور هذه المجموعة بواسطة مجموعة يُشار إليها بـ KTop(X). يحدد كل متغير X في المجموعة المقابلة [KO(X) أو KPL(X) أو KTop(X)] بعض العناصر التي تسمى بالثابت العرضي. هناك تماثلات طبيعية KO(X) ╝ KPL(X) ╝ KTop(X)، وتبين أنه على أبعاد n (n ³ 5) مدمجة ومتصلة بـ "-مشعب X، حيث a" = t، p ، عندها فقط يمكن للمرء إدخال بنية a (a = p if a" = t، و a = s if a" = p) عندما يكون ثابتها a" موجودًا في صورة المجموعة المقابلة. هذه الهياكل محدودة وتساوي عدد العناصر لبعض مجموعة حاصل القسمة من المجموعة، حيث Ya ≈ بعض الفضاء الطوبولوجي المصمم خصيصًا (بالنسبة لـ a = s، يُشار إلى الفضاء الطوبولوجي Ya عادةً بالرمز PL/O، وبالنسبة لـ = p ≈ بالرمز Top/PL، وبالتالي فإن مسألة وجود وتفرد البنية a-) تتحول إلى مشكلة معينة في نظرية التجانس تم حسابه بالكامل (1976)؛ ومع ذلك، فمن المعروف أن pi(PL/O) = 0 لـ i £ 6، مما يعني أن أي مشعب خطي متعدد التعريف ذو البعد n £ 7 يكون سلسًا بطريقة فريدة. تبين أن النوع المتجانس للفضاء الطوبولوجي Top/PL بسيط بشكل مدهش: هذا الفضاء مكافئ للتماثل المتماثل K(ℤ2, 3). وبالتالي، فإن عدد الهياكل الخطية المتعددة التعريف على المتشعب الطوبولوجي لا يتجاوز عدد عناصر المجموعة H 3(X, ℤ2). من المؤكد أن مثل هذه الهياكل موجودة إذا كان H 4(X, ℤ2) = 0، ولكن بالنسبة لـ H 4(X, ℤ2) ¹ 0 قد لا يكون هناك هيكل خطي متعدد التعريف. على وجه الخصوص، هناك بنية خطية فريدة من نوعها على الكرة S n. يمكن أن يكون هناك العديد من الهياكل الملساء على الكرة S n، على سبيل المثال، في S 7 هناك 28 بنية ملساء مختلفة. على الحيد T n (المنتج الطوبولوجي لعدد n من نسخ الدائرة S 1) يوجد لـ n ³ 5 العديد من الهياكل الخطية المتعددة القطع، والتي تعترف جميعها ببنية سلسة. وبالتالي، بدءًا من البعد 5، توجد متشعبات ملساء متماثلة الشكل ولكن ليست متباينة الشكل؛ توجد المجالات التي تحتوي على هذه الخاصية بدءًا من البعد 7. يمكن حل مشكلة وصف (حتى التماثل A) لجميع المشعبات المدمجة ذات الأبعاد n (n ³ 5) على مرحلتين: البحث عن شروط التكافؤ المتماثل المتشعبات أ والشروط المتماثلة للتماثل المتماثل للمشعبات أ. تتعلق المشكلة الأولى بنظرية التجانس وفي إطارها يمكن اعتبارها محلولة بالكامل. تم أيضًا حل المشكلة الثانية بشكل كامل (على الأقل بالنسبة للمشعبات المتصلة ببساطة). أساس حلها هو نقل تقنية "تحلل المقبض" إلى أبعاد أعلى. باستخدام هذه التقنية، من الممكن، على سبيل المثال، إثبات حدسية بوانكاريه للمشعبات الطوبولوجية ذات الأبعاد n (n ³ 5) (المشعب الطوبولوجي المدمج المتصل الذي يكافئ الكرة ويتماثل معها). إلى جانب المتشعبات، يمكننا أن نعتبر ما يسمى بالمشعبات ذات الحدود؛ وتتميز بحقيقة أن أحياء بعض نقاطها (التي تشكل الحافة) متجانسة مع نصف الفضاء Xn ³ 0 من الفضاء. الحد هو (n≈1) متعدد الأبعاد (بشكل عام، غير متصل). يقال أن المشعبتين A المدمجتين ذات البعد n X وY هما متشعبتان (مشتركتان) إذا كان هناك مشعب A مدمج ذو بعد (n+1) مع حدود W بحيث تكون حدوده هي اتحاد المشعبات الملساء المنفصلة a- متجانس إلى X وY إذا كانت تعيينات التضمين X ╝ W وY ╝ W عبارة عن مكافئات متماثلة، فإن المتشعبات الملساء تسمى h-cobordant. باستخدام طرق تحلل المقبض، من الممكن إثبات أنه بالنسبة لـ n ³ 5، فإن المشعبات a المدمجة المتصلة ببساطة تكون متماثلة الشكل إذا كانت متداخلة على شكل h. توفر نظرية h-cobordism هذه أقوى طريقة لتأسيس التماثل المتماثل للمشعبات (على وجه الخصوص، يعد تخمين بوانكاريه نتيجة طبيعية لها). هناك نتيجة مماثلة ولكن أكثر تعقيدًا تنطبق أيضًا على المشعبات غير المتصلة ببساطة. مجموعة δفئات المشعبات a المدمجة هي مجموعة تبادلية فيما يتعلق بعملية المجموع المتصلة. صفر هذه المجموعة هو فئة المشعبات a التي لها حواف، أي أنها تتوافق مع الصفر. لقد اتضح أن هذه المجموعة لـ a = s هي متماثلة الشكل للمجموعة المتماثلة p2n+1MO (n+1) لبعض الفضاء الطوبولوجي المبني خصيصًا MO (n+1)، والذي يسمى بفضاء ثوم. تحدث نتيجة مماثلة لـ a = p، t. لذلك، فإن طرق النظرية الجبرية تجعل من الممكن، من حيث المبدأ، حساب المجموعة. على وجه الخصوص، اتضح أن المجموعة lig هي مجموع مباشر للمجموعات ℤ2 بمبلغ يساوي عدد أقسام الرقم n إلى حدود أخرى غير أرقام النموذج 2m≈

على سبيل المثال، = 0 (وبالتالي فإن كل مشعب أملس مدمج ثلاثي الأبعاد يمثل حافة). على العكس من ذلك، μ= ℤ2، إذًا هناك أسطح متوافقة مع بعضها البعض وليست متوافقة مع الصفر؛ مثل هذا السطح، على سبيل المثال، هو المستوى الإسقاطي P

إم إم بوستنيكوف.

6. المراحل الرئيسية لتطور الطوبولوجيا

تم الحصول على بعض النتائج ذات الطبيعة الطوبولوجية في القرنين الثامن عشر والتاسع عشر. (نظرية أويلر على متعددات الوجوه المحدبة، تصنيف الأسطح ونظرية جوردان القائلة بأن الخط المغلق البسيط الموجود في المستوى يقسم المستوى إلى قسمين). في بداية القرن العشرين. يتم إنشاء المفهوم العام للفضاء في الفضاء (متري ≈ M. Fréchet، طوبولوجي ≈ F. Hausdorff)، تنشأ الأفكار الأولية لنظرية البعد ويتم إثبات أبسط النظريات حول التعيينات المستمرة (A. Lebesgue، L. Brouwer) ، يتم تقديم متعددات الوجوه (A. Poincaré) ويتم تحديد ما يسمى بأرقام Betti. الربع الأول من القرن العشرين. ينتهي بازدهار الطوبولوجيا العامة وإنشاء مدرسة موسكو الطوبولوجية؛ تم وضع أسس النظرية العامة للبعد (P. S. Uryson)؛ أُعطيت بديهيات الفضاءات الطوبولوجية شكلها الحديث (P. S. Aleksandrov)؛ تم إنشاء نظرية المساحات المدمجة (ألكساندروف، أوريسون) وتم إثبات نظرية ناتجها (أ.ن.تيخونوف)؛ ولأول مرة يتم توفير الشروط الضرورية والكافية لقابلية قياس الفضاء (ألكساندروف، يوريسون)؛ تم تقديم مفهوم الغطاء المحدود محليًا (ألكساندروف) [على أساسه في عام 1944 قام ج. ديودوني (فرنسا) بتعريف المساحات المسطحة])؛ يتم تقديم مساحات منتظمة تماما (تيخونوف)؛ يتم تعريف مفهوم العصب ومن ثم يتم تأسيس النظرية العامة للتماثل (ألكساندروف). تحت تأثير E. Noether، تم التعرف على أرقام بيتي على أنها صفوف مجموعات متماثلة، والتي تسمى أيضًا مجموعات بيتي. L. S. Pontryagin، بناء على نظريته للشخصيات، يثبت قوانين الازدواجية للمجموعات المغلقة.

في الربع الثاني من القرن العشرين. يستمر تطوير النظرية العامة ونظرية التماثل: في تطوير أفكار تيخونوف، يقدم A. Stone (الولايات المتحدة الأمريكية) وE. Cech ما يسمى بالحجر ≈ Chekhov، أو الحد الأقصى، (ثنائي) الامتداد المدمج لمساحة منتظمة تمامًا؛ تم تحديد مجموعات التماثل ذات المساحات العشوائية (Cech)، وتم إدخال الضرب في مجموعات التماثل (J. Alexander، A. N. Kolmogorov) وتم إنشاء حلقة التماثل. في هذا الوقت، سادت الأساليب التوافقية القائمة على النظر في المخططات المبسطة في النظرية الجبرية؛ ولذلك، لا تزال النظرية الجبرية تسمى في بعض الأحيان النظرية التوافقية. بدأت نظرية التجانس في التطور بشكل مكثف (H. Hopf، Pontryagin)؛ يتم تعريف مجموعات التجانس (V. Gurevich، الولايات المتحدة الأمريكية) ويتم تطبيق اعتبارات النظرية السلسة على حساباتها (Pontryagin). تمت صياغة بديهيات التماثل ومجموعات التماثل (N. Steenrod and S. Eilenberg، USA). تظهر نظرية الحزم (H. Whitney، USA؛ Pontryagin)؛ تم تقديم مساحات الخلايا (J. وايتهيد، المملكة المتحدة).

في النصف الثاني من القرن العشرين. في اتحاد الجمهوريات الاشتراكية السوفياتية، ظهرت المدرسة السوفيتية للنظرية العامة ونظرية التماثل: يجري العمل على نظرية البعد، ومشكلة القياس، ونظرية الامتدادات المدمجة (ثنائية)، والنظرية العامة للتعيينات المستمرة (المضروب، مفتوحة، مغلقة)، ولا سيما نظرية المطلقات؛ نظريات ما يسمى بالثوابت ذات القيمة الأساسية (A.V. Arkhangelsky، B.A. Pasynkov، V.I. Ponomarev، E.G. Sklyarenko، Yu.M. Smirnov، إلخ).

من خلال جهود عدد من العلماء (J. P. Serres و A. Cartan في فرنسا، M. M. Postnikov في اتحاد الجمهوريات الاشتراكية السوفياتية، Whitehead، وما إلى ذلك) تم تشكيل نظرية التماثلات أخيرًا. في هذا الوقت، تم إنشاء مراكز كبيرة للنظرية الجبرية في الولايات المتحدة الأمريكية، وبريطانيا العظمى، وبلدان أخرى؛ تم تجديد الاهتمام بالنظرية الهندسية. تم إنشاء نظرية حزم المتجهات والعامل K (م. عطية، بريطانيا العظمى؛ ف. هيرزبروخ، ألمانيا)، وتستخدم النظرية الجبرية على نطاق واسع في النظرية السلسة (ر. توم، فرنسا) و الهندسة الجبرية (هيرتسبروخ)؛ يجري تطوير نظرية البوردية (المشتركة) (V.A. Rokhlin، اتحاد الجمهوريات الاشتراكية السوفياتية؛ Tom، S.P. Novikov) ونظرية التجانس وقابلية التثليث (J. Milnor، الولايات المتحدة الأمريكية).

ويستمر تطور التكنولوجيا في كافة الاتجاهات، كما أن نطاق تطبيقاتها يتوسع باستمرار.

أ.مالتسيف.

المرجع: ألكساندروف ب.س.، مقدمة للنظرية العامة للمجموعات والوظائف، M.≈L.، 1948؛ باركومينكو إيه إس، ما هو الخط، م، 1954؛ بونترياجين إل إس، أساسيات الطوبولوجيا التوافقية، M.≈L.، 1947؛ وبواسطته، المجموعات المستمرة، الطبعة الثالثة، م.، 1973؛ ميلنور ج.، والاس أ، الطوبولوجيا التفاضلية. بداية الدورة، عبر. من الإنجليزية، م.، 1972؛ ستينرود إن، تشين دبليو، المفاهيم الأولى للطوبولوجيا، عبر. من الإنجليزية، م.، 1967؛ ألكساندروف بي إس، الطوبولوجيا التوافقية، M.≈L.، 1947؛ ألكساندروف بي إس، باسينكوف بكالوريوس، مقدمة في نظرية الأبعاد. مقدمة في نظرية الفضاءات الطوبولوجية والنظرية العامة للأبعاد، م.، 1973؛ ألكساندروف ب.س.، مقدمة للنظرية المتماثلة للبعد والطوبولوجيا التوافقية العامة، م.، 1975؛ Arkhangelsky A.V.، Ponomarev V.I.، أساسيات الطوبولوجيا العامة في المشاكل والتمارين، M.، 1974؛ Postnikov M. M.، مقدمة لنظرية مورس، M.، 1971؛ بورباكي ن.، الطوبولوجيا العامة. الهياكل الأساسية، العابرة. من الفرنسية، م.، 1968؛ له، طوبولوجيا عامة. المجموعات الطوبولوجية. الأعداد والمجموعات والمساحات ذات الصلة، العابرة. من الفرنسية، م.، 1969؛ له، طوبولوجيا عامة. استخدام الأعداد الحقيقية في الطوبولوجيا العامة. المساحات الوظيفية. ملخص النتائج. قاموس، عبر. من الفرنسية، م.، 1975؛ كوراتوفسكي ك.، الطوبولوجيا، العابرة. من الإنجليزية، المجلد 1≈2، م، 1966≈69؛ لانج س.، مقدمة لنظرية المتشعبات القابلة للتفاضل، Trans. من الإنجليزية، م.، 1967؛ سبينير إي، الطوبولوجيا الجبرية، العابرة. من الإنجليزية، م، 1971.

طوبولوجيا (توضيح)

البنية:

• الطوبولوجيا هي فرع من فروع الرياضيات يدرس ظاهرة الاستمرارية في صورتها الأكثر عمومية.
• الطوبولوجيا هي نظام من المجموعات المستخدمة في تحديد الفضاء الطوبولوجي.
• طوبولوجيا الشبكة عبارة عن رسم تخطيطي لموقع أجهزة الشبكة واتصالها.

أمثلة على استخدام كلمة طوبولوجيا في الأدب.

بونترياجين، الذي من خلال جهوده تم إنشاء فرع جديد من الرياضيات - الجبر الطوبولوجي - دراسة الهياكل الجبرية المختلفة الموهوبة البنية.

ولا يمكن للمرء أن يفهم علم الأنسجة دون الهيدرولوجيا، والهيدرولوجيا دون جيولوجيا، والجيولوجيا دون جغرافيا، والجغرافيا دون تضاريس، والتضاريس دون جيولوجيا. البنيةوكل ذلك معًا بدون علم Omneology، وعلم Omneology - بدون جداول.

لم نفهم علم الأنسجة، ولم نفهم الهيدرولوجيا، والهيدروغرافيا، والجغرافيا، والطوبوغرافيا، البنية.

وبشكل عام، يتضمن هذا النهج توثيق الشبكة البنيةوالبرامج التطبيقية والبروتوكولات المستخدمة.

لذلك استمر في استخدام مصطلحات معقدة بشكل متزايد، في إشارة إلى البنيةروح وهندسة الوعي والبصيرة، محددًا عناصر الأنطوغرافيا بالمنظار، ومناخ الحياة العاطفية، ومستوياتها، وتطرفها، وصعودها، وهبوطها، وكذلك انخفاضات الروح، وتجاذب أطراف الحديث لفترة طويلة حتى أصبح أجش، والملك كان لديه صداع.

بطاقات البنيةيعد توجيه البريد مفيدًا لحل مشكلات نقل البريد بين الخوادم.

وبالمثل، نأمل أن نرى مكتبة محللات ذات مستوى أعلى تقوم بفرز الردود بناءً على المعلومات المتعلقة بها البنية، موجود فقط على مضيف العميل.

وهذا يعني أن الشبكة البنيةويصبح التقسيم عاملاً وقائيًا مهمًا.

بعد كل شيء، في جوهرها، تأتي أي نظرية البنيةالصور، وأي وجودية ليست أكثر من مجرد مجمع استنتاجي من الصور العالمية، المرتبطة استقرائيا بالواقع التجريبي.

لنصنع او لنبتكر البنيةالخوادم البعيدة، حدد أولاً قواعد البيانات التي ستصل إليها محطات العمل والخوادم بشكل متكرر.

وهي - في عالم الاستمرارية البنيةتسمح لنا روابطها الداخلية بتشكيل بيئة تصبح فيها الذاتية المتبادلة وظيفة لتوزيع العقلانيات داخلها.

أي بحسب الموضوعي البنيةفي العالم الجسيمي، يتم حل مشكلة الذاتية المتبادلة بمساعدة وسيط بين الجوهري.

نحن نتحدث عن بعض علوم الهندسة اللاكميةالمساحات تتساقط في بعضها البعض، وتتحول إلى بعضها البعض، تمامًا كما تظهر الحروف في جوانب مختلفة أو تتناوب في حرف النافذة.

ومع ذلك، في المنظمات الصغيرة، هذا البنيةيضمن تحديث البيانات بسرعة.

لأنك تخطط البنية، يجب عليك أن تنظر و البنيةحركة البريد والنسخ المتماثل.

البنية
فرع من الرياضيات يهتم بدراسة خصائص الأشكال (أو الفراغات) التي يتم حفظها تحت التشوهات المستمرة، مثل التمدد أو الضغط أو الانحناء. التشوه المستمر هو تشوه الشكل الذي لا توجد فيه فواصل (أي انتهاك لسلامة الشكل) أو لصق (أي تحديد نقاطه). ترتبط هذه الخصائص الهندسية بالموضع وليس بشكل الشكل أو حجمه. على عكس الهندسة الإقليدية والريمانية، وهندسة لوباشيفسكي وغيرها من الأشكال الهندسية التي تتعامل مع قياس الأطوال والزوايا، فإن الطوبولوجيا لها طابع نوعي وغير متري. وكان يطلق عليه في السابق اسم "تحليل الموقع" (تحليل الموقف)، وكذلك "نظرية مجموعة النقاط". في الأدبيات العلمية الشائعة، غالبًا ما تسمى الطوبولوجيا "هندسة الصفائح المطاطية" لأنه يمكن تصورها على أنها هندسة الأشكال المرسومة على صفائح مطاطية مرنة تمامًا والتي تتعرض للتوتر أو الضغط أو الانحناء. الطوبولوجيا هي واحدة من أحدث فروع الرياضيات.
قصة.في عام 1640، وجد عالم الرياضيات الفرنسي ر. ديكارت (1596-1650) علاقة ثابتة بين عدد القمم والحواف والأوجه لمتعددات الوجوه البسيطة. عبر ديكارت عن هذه العلاقة بالصيغة V - E + F = 2، حيث V هو عدد الرءوس، E هو عدد الحواف وF هو عدد الوجوه. في عام 1752، قدم عالم الرياضيات السويسري ل. أويلر (1707-1783) دليلاً صارمًا على هذه الصيغة. مساهمة أخرى من أويلر في تطوير الطوبولوجيا كانت حل المشكلة الشهيرة لجسور كونيجسبيرج. كان الأمر يتعلق بجزيرة على نهر بريجيل في كونيجسبيرج (في المكان الذي ينقسم فيه النهر إلى فرعين - بريجيل القديم والجديد) وسبعة جسور تربط الجزيرة بالضفاف. كانت المهمة هي معرفة ما إذا كان من الممكن التجول حول الجسور السبعة على طول طريق مستمر، وزيارة كل منها مرة واحدة فقط والعودة إلى نقطة البداية. استبدل أويلر الكتل الأرضية بالنقاط والجسور بالخطوط. أطلق أويلر على التكوين الناتج اسم رسم بياني، والنقاط هي رؤوسه، والخطوط هي حوافه. قام بتقسيم القمم إلى زوجية وفردية، اعتمادًا على ما إذا كان عدد الحواف الخارجة من الرأس زوجية أم فردية. أظهر أويلر أن جميع حواف الرسم البياني يمكن اجتيازها مرة واحدة بالضبط على طول مسار مغلق مستمر فقط إذا كان الرسم البياني يحتوي على رؤوس زوجية فقط. نظرًا لأن الرسم البياني في مشكلة جسور كونيجسبيرج يحتوي فقط على قمم فردية، فمن المستحيل التجول حول الجسور على طول طريق مستمر، وزيارة كل واحد منها مرة واحدة بالضبط والعودة إلى بداية المسار. يعتمد حل مشكلة جسور كونيجسبيرج التي اقترحها أويلر فقط على الموقع النسبي للجسور. لقد كان بمثابة البداية الرسمية للطوبولوجيا كفرع من الرياضيات. ابتكر K. Gauss (1777-1855) نظرية العقد، والتي تمت دراستها لاحقًا بواسطة I. List (1808-1882)، P. Tate (1831-1901) وJ. Alexander. في عام 1840، قام A. Moebius (1790-1868) بصياغة ما يسمى بمشكلة الألوان الأربعة، والتي تمت دراستها لاحقًا بواسطة O. de Morgan (1806-1871) و A. Cayley (1821-1895). كان أول عمل منهجي حول الطوبولوجيا هو دراسات ليستينغ الأولية حول الطوبولوجيا (1874). مؤسسو الطوبولوجيا الحديثة هم ج. كانتور (1845-1918)، أ. بوانكاريه (1854-1912) و ل. بروير (1881-1966).
أقسام الطوبولوجيا.يمكن تقسيم الطوبولوجيا إلى ثلاثة مجالات: 1) الطوبولوجيا التوافقية، التي تدرس الأشكال الهندسية عن طريق تقسيمها إلى أشكال بسيطة متجاورة بانتظام مع بعضها البعض؛ 2) الطوبولوجيا الجبرية، والتي تتناول دراسة الهياكل الجبرية المرتبطة بالفضاءات الطوبولوجية، مع التركيز على نظرية المجموعة؛ 3) طوبولوجيا المجموعات النظرية، التي تدرس المجموعات كمجموعات من النقاط (على عكس الطرق التوافقية التي تمثل كائنًا كاتحاد لأشياء أبسط) وتصف المجموعات من حيث الخصائص الطوبولوجية مثل الانفتاح والانغلاق والترابط وما إلى ذلك. وبطبيعة الحال، فإن تقسيم الطوبولوجيا إلى مناطق هو أمر تعسفي إلى حد ما؛ يفضل العديد من علماء الطوبولوجيا التمييز بين الأقسام الأخرى فيه.
بعض المفاهيم الأساسية.يتكون الفضاء الطوبولوجي من مجموعة من النقاط S ومجموعة S من مجموعات فرعية من المجموعة S تستوفي البديهيات التالية: (1) المجموعة بأكملها S والمجموعة الفارغة تنتمي إلى المجموعة S؛ (2) اتحاد أي مجموعة من المجموعات من S هو مجموعة من S؛ (3) تقاطع أي عدد محدود من المجموعات من S هو مجموعة من S. وتسمى المجموعات المضمنة في المجموعة S مجموعات مفتوحة، وتسمى هذه المجموعة نفسها طوبولوجيا في S.
انظر نظرية المجموعة. التحول الطوبولوجي، أو التجانس، من شكل هندسي S إلى آخر، S، هو تعيين (p (r) p") للنقاط p من S إلى النقاط p" من S"، مع استيفاء الشروط التالية: 1) المراسلات التي تحددها بين النقاط من S وS" هي واحدة لواحد، أي أن كل نقطة p من S تتوافق مع نقطة واحدة فقط p" من S" ولكل نقطة p" يتم تعيين نقطة واحدة فقط p؛ 2) التعيين مستمر بشكل متبادل (مستمر في كلا الاتجاهين)، أي. إذا تم إعطاء نقطتين p، q من S وتحركت النقطة p بحيث تميل المسافة بينها وبين النقطة q إلى الصفر، فإن المسافة بين النقطتين المقابلتين p، q" من S" تميل أيضًا إلى الصفر، والعكس صحيح. تسمى الأشكال الهندسية التي تتحول إلى بعضها البعض في ظل التحولات الطوبولوجية متماثلة الشكل، حيث أن الدائرة وحدود المربع متماثلة الشكل، حيث يمكن تحويلهما إلى بعضهما البعض عن طريق التحول الطوبولوجي (أي الانحناء والتمدد دون كسر أو لصق، على سبيل المثال). ، وتمتد حدود المربع على دائرة محاطة به). الكرة وسطح المكعب متماثلان أيضًا. لإثبات أن الأشكال متجانسة ، يكفي الإشارة إلى التحول المقابل ، ولكن الحقيقة هي ذلك لا نستطيع أن نجد تحولا لبعض الأشكال لا يثبت أن هذه الأشكال ليست متجانسة.

أرز. 1. سطح المكعب والكرة متجانسان، أي. يمكن تحويلها إلى بعضها البعض عن طريق التحول الطوبولوجي، ولكن لا سطح المكعب ولا الكرة متماثلان مع الحيد (سطح "الدونات").

الخاصية الطوبولوجية (أو الثوابت الطوبولوجية) للأشكال الهندسية هي خاصية، إلى جانب شكل معين، يمتلكها أيضًا أي شكل يتحول إليه أثناء التحول الطوبولوجي. أي مجموعة متصلة مفتوحة تحتوي على نقطة واحدة على الأقل تسمى منطقة. المنطقة التي يمكن فيها تقليص أي منحنى بسيط مغلق (أي متماثل الشكل إلى دائرة) إلى نقطة بينما يبقى في هذه المنطقة طوال الوقت تسمى ببساطة متصلة، والخاصية المقابلة للمنطقة متصلة ببساطة. إذا كان بعض المنحنى البسيط المغلق لهذه المنطقة لا يمكن تقليصه إلى نقطة ما، ويبقى طوال الوقت في هذه المنطقة، فإن المنطقة تسمى متصلة مضاعفة، وتسمى الخاصية المقابلة للمنطقة متصلة مضاعفة. تخيل منطقتين دائريتين، أو قرصين، واحدة بدون ثقوب والأخرى بها ثقوب. المنطقة الأولى متصلة ببساطة، والثانية متصلة بشكل مضاعف. إن التوصيل البسيط والتوصيل المتعدد هما خصائص طوبولوجية. لا يمكن لمنطقة بها ثقب أن تخضع للتجانس مع منطقة بدون ثقوب. ومن المثير للاهتمام أن نلاحظ أنه إذا تم رسم قطع في قرص متصل بشكل مضاعف من كل فتحة من الفتحات إلى حافة القرص، فإنه يصبح متصلاً ببساطة. يُطلق على الحد الأقصى لعدد المنحنيات المنفصلة البسيطة المغلقة التي يمكن من خلالها قطع سطح مغلق دون تقسيمه إلى أجزاء منفصلة اسم السطح. الجنس هو ثابت طوبولوجي للسطح. يمكن إثبات أن جنس الكرة يساوي صفرًا، وجنس الطارة (سطح الدونات) يساوي واحدًا، وجنس البسكويت (طوق ذو فتحتين) يساوي اثنين، والجنس سطح به ثقوب p يساوي p. ويترتب على ذلك أنه لا سطح المكعب ولا الكرة متماثلان بالنسبة للطارة. من بين الثوابت الطوبولوجية للسطح، يمكن أيضًا ملاحظة عدد الجوانب وعدد الحواف. يحتوي القرص على جانبين، حافة واحدة وجنس 0. يحتوي الطاري على جانبين، وليس له حواف، وجنسه هو 1. تسمح لنا المفاهيم المقدمة أعلاه بتوضيح تعريف الطوبولوجيا: الطوبولوجيا هي فرع الرياضيات الذي يدرس الخصائص التي يتم الحفاظ عليها تحت التماثل.
قضايا ونتائج مهمة.نظرية المنحنى المغلق في الأردن. إذا تم رسم منحنى مغلق بسيط على سطح ما، فهل هناك أي خاصية للمنحنى يتم الحفاظ عليها عندما يتشوه السطح؟ إن وجود مثل هذه الخاصية يتبع من النظرية التالية: منحنى مغلق بسيط على المستوى يقسم المستوى إلى منطقتين، داخلية وخارجية. هذه النظرية التي تبدو تافهة واضحة بالنسبة للمنحنيات البسيطة، مثل الدائرة؛ ومع ذلك، بالنسبة للخطوط المتعددة المغلقة المعقدة فإن الوضع مختلف. تمت صياغة النظرية وإثباتها لأول مرة بواسطة C. Jordan (1838-1922)؛ لكن تبين أن دليل الأردن كان خاطئًا. تم اقتراح دليل مرضٍ من قبل O. Veblen (1880-1960) في عام 1905.
نظرية النقطة الثابتة لبروير.لتكن D منطقة مغلقة تتكون من دائرة وباطنها. تنص نظرية بروير على أنه بالنسبة لأي تحويل مستمر يأخذ كل نقطة من المنطقة D إلى نقطة في نفس المنطقة، هناك نقطة تظل ثابتة تحت هذا التحويل. (لا يُفترض أن يكون التحويل واحدًا لواحد.) تعتبر نظرية النقطة الثابتة لبروير ذات أهمية خاصة لأنها تبدو أنها النظرية الطوبولوجية الأكثر استخدامًا في فروع الرياضيات الأخرى.
مشكلة الألوان الأربعة.المشكلة هي كما يلي: هل يمكن تلوين أي خريطة بأربعة ألوان بحيث يتم تلوين أي دولتين تشتركان في الحدود بشكل مختلف؟ إن مشكلة الألوان الأربعة هي مشكلة طوبولوجية، حيث لا يهم شكل البلدان ولا شكل الحدود. تم طرح فرضية أن أربعة ألوان كافية لتلوين أي خريطة بشكل صحيح لأول مرة في عام 1852. وأظهرت التجربة أن أربعة ألوان كانت كافية بالفعل، ولكن لم يكن من الممكن الحصول على دليل رياضي صارم لأكثر من مائة عام. فقط في عام 1976، حقق K. Appel و W. Haken من جامعة إلينوي النجاح، بعد أن أمضيا أكثر من 1000 ساعة في استخدام الكمبيوتر.
الأسطح أحادية الجانب.أبسط سطح أحادي الجانب هو شريط موبيوس، الذي سمي على اسم أ. موبيوس، الذي اكتشف خصائصه الطوبولوجية غير العادية في عام 1858. لنفترض أن ABCD (الشكل 2 أ) عبارة عن شريط مستطيل من الورق. إذا قمت بلصق النقطة A بالنقطة B، والنقطة C بالنقطة D (الشكل 2، ب)، فستحصل على حلقة ذات سطح داخلي وسطح خارجي وحافتين. يمكن طلاء جانب واحد من الحلقة (الشكل 2، ب). سيقتصر السطح المطلي على حواف الحلقة. يمكن للخنفساء أن تسافر حول العالم في حلقة، وتبقى إما على سطح مطلي أو غير مطلي. ولكن إذا قمت بتحريف الشريط نصف دورة قبل لصق الأطراف ولصق النقطة A بالنقطة C ومن B إلى D، فستحصل على شريط Möbius (الشكل 2 ج). هذا الشكل له سطح واحد فقط وحافة واحدة. أي محاولة لتلوين جانب واحد فقط من شريط Mobius محكوم عليها بالفشل، لأن شريط Mobius له جانب واحد فقط. ستعود الخنفساء التي تزحف على طول منتصف شريط موبيوس (دون عبور الحواف) إلى نقطة البداية في وضع مقلوب. عند قطع شريط موبيوس على طول خط الوسط، فإنه لا ينقسم إلى قسمين.

عقدة.يمكن اعتبار العقدة بمثابة قطعة متشابكة من حبل رفيع ذو أطراف متصلة تقع في الفضاء. أبسط مثال هو عمل حلقة من قطعة حبل، وتمرير أحد طرفيها خلال الحلقة وربط الأطراف. ونتيجة لذلك، نحصل على منحنى مغلق يظل كما هو من الناحية الطوبولوجية، بغض النظر عن كيفية تمديده أو تلويه، دون تمزيق أو لصق النقاط الفردية معًا. لم يتم حل مشكلة تصنيف العقد وفقًا لنظام الثوابت الطوبولوجية بعد.
الأدب
هو سي تشيانغ. نظرية المثلية. م.، 1964 كوراتوفسكي أ. الطوبولوجيا، المجلد. 1-2. م.، 1966، 1969 سبينير إي. طوبولوجيا جبرية. م. ، 1971 ألكساندروف ب.س. مقدمة في نظرية المجموعات والطوبولوجيا العامة. م.، 1977 كيلي ج. طوبولوجيا عامة. م، 1981

موسوعة كولير. - المجتمع المفتوح. 2000 .

المرادفات:

انظر ما هو "الطوبولوجيا" في القواميس الأخرى:

البنية… كتاب مرجعي القاموس الإملائي

البنية- التوزيع المادي أو المنطقي لعقد الشبكة. تحدد الطوبولوجيا المادية الاتصالات المادية (الروابط) بين العقد. تصف الطوبولوجيا المنطقية الاتصالات المحتملة بين عقد الشبكة. في الشبكات المحلية، الثلاثة الأكثر شيوعًا... ...

بالمعنى الواسع، مجال الرياضيات الذي يدرس الطوبولوجيا. خصائص تتحلل. الرياضيات. والجسدية أشياء. حدسي، إلى طوبولوجي وتشمل هذه خصائص عالية الجودة ومستقرة لا تتغير مع التشوه. الرياضيات. إضفاء الطابع الرسمي على فكرة الطوبولوجية ملكيات... ... الموسوعة الفيزيائية

العلم، دراسة المحليات. قاموس الكلمات الأجنبية المدرجة في اللغة الروسية. Chudinov A.N., 1910. الطوبولوجيا (gr. topos place, Terrain + ...logy) فرع من الرياضيات يدرس الخصائص الأكثر عمومية للأشكال الهندسية (الخصائص، وليس ... ...) قاموس الكلمات الأجنبية للغة الروسية

الطوبولوجيا، فرع من الرياضيات يدرس خصائص الأشكال الهندسية التي تظل دون تغيير تحت أي تشوه: الضغط، والتمدد، والالتواء (ولكن دون كسر أو لصق). الكوب ذو المقبض يعادل طوبولوجيًا كعكة الدونات. مكعب،... ... القاموس الموسوعي العلمي والتقني

- (من مكان و...علم التوبوس اليوناني) فرع من الرياضيات يدرس الخصائص الطوبولوجية للأشكال، أي الخصائص التي لا تتغير تحت أي تشوهات تنتج دون فواصل ولصق (بتعبير أدق، تحت واحد إلى واحد و مستمر... ... القاموس الموسوعي الكبير

طوبولوجيا، طوبولوجيا، كثيرة. لا يا انثى (من مكان التوبوس اليوناني وتعليم الشعارات) (حصيرة). جزء من الهندسة يدرس الخصائص النوعية للأشكال (أي مستقلة عن مفاهيم مثل الطول والزوايا والاستقامة وما إلى ذلك). قاموس…… قاموس أوشاكوف التوضيحي

الاسم عدد المرادفات: 1 رياضيات (29) قاموس المرادفات ASIS. ف.ن. تريشين. 2013… قاموس المرادفات

الطوبولوجيا هي فرع من فروع الرياضيات يدرس خصائص الأشكال الهندسية التي لا تتغير تحت التشوهات التي تحدث دون انقطاع. قاموس المصطلحات التجارية. Akademik.ru. 2001... قاموس المصطلحات التجارية

طوبولوجيا IC- - [Ya.N.Luginsky، M.S.Fezi Zhilinskaya، Yu.S.Kabirov. القاموس الإنجليزي الروسي للهندسة الكهربائية وهندسة الطاقة، موسكو، 1999] موضوعات الهندسة الكهربائية، المفاهيم الأساسية EN تخطيط الدوائر المتكاملة ... دليل المترجم الفني