حد دالة من متغيرين.
مفهوم وأمثلة للحلول

مرحبا بكم في الدرس الثالث حول هذا الموضوع فنب، حيث بدأت كل مخاوفك تتحقق أخيرًا =) كما يشتبه الكثيرون، يمتد مفهوم الحد أيضًا إلى دالة لعدد عشوائي من الحجج، وهو ما يتعين علينا اكتشافه اليوم. ومع ذلك، هناك بعض الأخبار المتفائلة. وهو يتألف من حقيقة أن الحد هو إلى حد ما مجردة والمهام المقابلة نادرة للغاية في الممارسة العملية. في هذا الصدد، سوف يركز اهتمامنا على حدود دالة ذات متغيرين أو كما نكتبها في كثير من الأحيان: .

تتشابه العديد من الأفكار والمبادئ والأساليب مع نظرية وممارسة الحدود "التقليدية"، مما يعني أنه في هذه المرحلة يجب عليك تكون قادرة على العثور على حدودوالأهم من ذلك فهم ما هو عليه حد دالة لمتغير واحد. وبما أن القدر قد أوصلك إلى هذه الصفحة، فمن المرجح أنك تفهم وتعرف الكثير بالفعل. وإذا لم يكن الأمر كذلك، فلا بأس، يمكن حقًا ملء جميع الفجوات في غضون ساعات وحتى دقائق.

تجري أحداث هذا الدرس في عالمنا ثلاثي الأبعاد، وبالتالي سيكون مجرد إغفال كبير عدم القيام بدور نشط فيها. أولا، دعونا نبني معروفة نظام الإحداثيات الديكارتية في الفضاء. هيا ننهض ونتجول في الغرفة قليلاً... ...الأرضية التي تمشي عليها هي طائرة. لنضع المحور في مكان ما... حسنًا، على سبيل المثال، في أي زاوية، حتى لا يعيق الطريق. عظيم. الآن من فضلك انظر للأعلى وتخيل أن البطانية معلقة هناك، منتشرة. هذا سطح، المحددة بواسطة الدالة. إن حركتنا على الأرض، كما هو سهل الفهم، تحاكي تغيراً في المتغيرات المستقلة، ويمكننا أن نتحرك حصراً تحت البطانية، أي. الخامس مجال تعريف دالة ذات متغيرين. لكن المتعة بدأت للتو. يزحف صرصور صغير على البطانية فوق طرف أنفك مباشرةً، ويفعل ذلك أينما ذهبت. دعنا نسميه فريدي. حركتها تحاكي التغيير في قيم الوظيفة المقابلة (باستثناء الحالات التي يكون فيها السطح أو شظاياه موازية للمستوى ولا يتغير الارتفاع). عزيزي القارئ المسمى فريدي، لا تنزعج، فهذا ضروري للعلم.

دعونا نأخذ المخرز في أيدينا ونثقب البطانية عند نقطة تعسفية، سنشير إلى ارتفاعها، وبعد ذلك سنلصق الأداة على الأرض بدقة أسفل الحفرة - ستكون هذه هي النقطة. الآن لنبدأ قريبة بلا حدودالاقتراب من نقطة معينة ، ولدينا الحق في الاقتراب من أي مسار (كل نقطة منها، بالطبع، مدرجة في مجال التعريف). إذا كان فريدي في جميع الحالات سيكون كذلك قريبة بلا حدودالزحف إلى الثقب إلى ارتفاع وهذا الارتفاع بالضبط، ثم يكون للوظيفة حد عند النقطة عند :

إذا كانت النقطة المثقوبة، في ظل الظروف المحددة، موجودة على حافة البطانية، فسيظل الحد موجودًا - من المهم أنه في حي صغير بشكل تعسفيكانت أطراف المخرز على الأقل بعض النقاط من مجال تعريف الوظيفة. علاوة على ذلك، كما هو الحال مع حد دالة لمتغير واحد, لا يهم، سواء تم تعريف الوظيفة عند نقطة أم لا. أي أنه يمكن إغلاق ثقبنا بالعلكة (اعتقد ذلك وظيفة اثنين من المتغيرات مستمرة) وهذا لن يؤثر على الوضع - نتذكر أن جوهر الحد يعني ضمنا تقريب لا نهائي، وليس "نهجًا دقيقًا" لنقطة ما.

ومع ذلك، فإن الحياة الصافية طغت عليها حقيقة أنه، على عكس الأخ الأصغر، فإن الحد في كثير من الأحيان غير موجود. ويرجع ذلك إلى حقيقة أنه عادة ما يكون هناك العديد من المسارات المؤدية إلى نقطة معينة على المستوى، ويجب على كل منها أن يقود فريدي بدقة إلى الثقب (اختياري "مختوم بالعلكة")وبدقة إلى الارتفاع. وهناك ما يكفي من الأسطح الغريبة مع انقطاعات غريبة بنفس القدر، مما يؤدي إلى انتهاك هذا الشرط الصارم في بعض اللحظات.

دعونا ننظم أبسط مثال - نأخذ سكينًا في أيدينا ونقطع البطانية بحيث تقع النقطة المثقوبة على خط القطع. لاحظ أن الحد لا يزال موجودا، والشيء الوحيد هو أننا فقدنا الحق في الدخول إلى النقاط تحت خط القطع، لأن هذه المنطقة "سقطت" من مجال الوظيفة. الآن دعونا نرفع بعناية الجزء الأيسر من البطانية على طول المحور، وعلى العكس من ذلك، نحرك الجزء الأيمن لأسفل أو حتى نتركه في مكانه. ما الذي تغير؟ وقد تغير ما يلي بشكل أساسي: إذا اقتربنا الآن من نقطة على اليسار، فسيكون فريدي على ارتفاع أعلى مما لو كنا نقترب من نقطة معينة على اليمين. لذلك ليس هناك حد.

وبالطبع حدود رائعةأين كنا سنكون لولاهم؟ دعونا نلقي نظرة على مثال مفيد بكل معنى الكلمة:

مثال 11

نحن نستخدم الصيغة المثلثية المألوفة بشكل مؤلم، حيث ننظم باستخدام تقنية صناعية قياسية أول حدود ملحوظة :

دعنا ننتقل إلى الإحداثيات القطبية:
اذا ثم

يبدو أن الحل يتجه نحو نتيجة طبيعية ولا شيء ينبئ بالمتاعب، ولكن في النهاية هناك خطر كبير بحدوث خلل خطير، والذي سبق أن ألمحت إلى طبيعته قليلاً في المثال 3 ووصفته بالتفصيل بعد المثال 6. أولاً النهاية، ثم التعليق:

دعونا نكتشف لماذا سيكون من السيئ كتابة "اللانهاية" أو "زائد اللانهاية". دعونا نلقي نظرة على المقام: بما أن نصف القطر القطبي يميل إلى ذلك متناهي الصغرالقيمة الإيجابية : . بجانب، . وبالتالي، فإن إشارة المقام والحد بأكمله تعتمد فقط على جيب التمام:
، إذا كانت الزاوية القطبية (الربع الإحداثي الثاني والثالث: );
، إذا كانت الزاوية القطبية (الربع الإحداثي الأول والرابع:).

هندسيًا، هذا يعني أنه إذا اقتربت من نقطة الأصل من اليسار، فإن السطح المحدد بواسطة الدالة ، يمتد إلى ما لا نهاية:

ومن أجل إعطاء مفهوم نهاية دالة ذات عدة متغيرات، فإننا نقتصر على حالة متغيرين Xو في. بحكم التعريف، وظيفة و (س، ص)له حد عند النقطة ( X 0 , في 0)، يساوي العدد أ، والمشار إليها على النحو التالي:

(ويكتبون أيضا و (س، ص)>أفي (س، ص)> (X 0 , في 0)) ، إذا تم تعريفه في بعض أحياء النقطة ( X 0 , في 0)، باستثناء ربما عند هذه النقطة نفسها وإذا كان هناك حد

مهما كان يميل ( X 0 , في 0) تسلسل النقاط ( س ك ، ذ ك).

كما هو الحال في حالة دالة ذات متغير واحد، يمكن تقديم تعريف آخر مكافئ لحدود دالة مكونة من متغيرين: Fلديه نقطة ( X 0 , في 0) الحد يساوي أ، إذا تم تعريفه في بعض أحياء النقطة ( X 0 , في 0) باستثناء، ربما، هذه النقطة نفسها، ولأي e > 0 هناك e > 0 بحيث

| و (س، ص) - أ | < е (3)

للجميع (س، ص)

0 < < д. (4)

وهذا التعريف بدوره يعادل ما يلي: لأي e > 0 هناك حي d للنقطة ( X 0 , في 0) بحيث للجميع ( س، ص) من هذا الحي يختلف عن ( X 0 , في 0)، عدم المساواة (3) راض.

منذ إحداثيات نقطة تعسفية ( س، ص) حي النقطة ( X 0 , في 0) يمكن كتابتها كـ س = س 0 + د X, ص = ص 0 + د فيفإن المساواة (1) تعادل المساواة التالية:

دعونا نفكر في بعض الوظائف المحددة في حي النقطة ( X 0 , في 0)، ربما باستثناء هذه النقطة نفسها.

دع ش = (ش X، ش في) - متجه تعسفي بطول واحد (|у| 2 = у X 2 + ش في 2 = 1) و ر> 0 - العددية. وجهات النظر ( X 0 + رش X , ذ 0 + رش في) (0 < ر)

تشكل شعاعًا يخرج من ( X 0 , في 0) في اتجاه المتجه u. لكل u يمكننا النظر في الوظيفة

F (X 0 + رش X , ذ 0 + رش في) (0 < ر < д)

من متغير عددي ر، حيث d عدد صغير إلى حد ما.

حد هذه الدالة (متغير واحد) ر)

F (X 0 + رش X , ذ 0 + رش في),

Fعند نقطة ( X 0 , في 0) في الاتجاه

مثال 1.المهام

محددة على المستوى ( س، ص) باستثناء هذه النقطة X 0 = 0, في 0 = 0. لدينا (ضع في الاعتبار ذلك و):

(من أجل e > 0 قمنا بتعيين d = e/2 ثم | و (س، ص)| < е, если < д).

ومن الواضح أن الحد μ عند النقطة (0، 0) في اتجاهات مختلفة يختلف بشكل عام (متجه الوحدة للشعاع ص = ك س, X> 0، لديه النموذج

مثال 2.دعونا نفكر في ر 2 وظيفة

(X 4 + في 2 ? 0).

هذه الدالة عند النقطة (0،0) على أي خط ص = ك سالمرور عبر نقطة الأصل له حد يساوي الصفر:

في X > 0.

ومع ذلك، هذه الدالة ليس لها حد عند النقاط (0، 0)، لأنه متى ص = س 2

سنكتب إذا كانت الوظيفة Fيتم تعريفه في بعض أحياء النقطة ( X 0 , في 0)، ربما باستثناء النقطة نفسها ( X 0 , في 0) للجميع ن> 0 هناك د > 0 بحيث

| و (س، ص)| > ن,

بمجرد 0< < д.

يمكننا أيضًا التحدث عن الحد F، متى X, في > ?:

أيجب أن تُفهم المساواة (5) بمعنى أنه يوجد مثل هذا لكل e > 0 ن> 0، وهو للجميع X, في، والتي | س| > ن, |ذ| > ن، وظيفة Fمحددة وعدم المساواة يحمل

| و (س، ص) - أ| < е.

المساواة صالحة

أين يمكن أن يكون X > ?, في> ؟. علاوة على ذلك، كالعادة، النهايات (المنتهية) على جانبها الأيسر موجودة إذا كانت النهايات موجودة Fو ج.

ولنثبت (7) كمثال.

يترك ( س ك ، ذ ك) > (X 0 , في 0) ((س ك ، ذ ك) ? (X 0 , في 0))؛ ثم

وبذلك تكون النهاية على الجانب الأيسر من (9) موجودة وتساوي الجانب الأيمن من (9)، وبما أن المتتابعة ( س ك ، ذ ك) يميل إلى ( X 0 , في 0) بموجب أي قانون فإن هذا الحد يساوي حد الدالة و (س، ص)نهاية الخبر (س، ص)عند نقطة ( X 0 , في 0).

نظرية.إذا كانت الوظيفة و (س، ص)له حد غير الصفر عند النقطة ( X 0 , في 0)، أي.

ثم يوجد g > 0 بحيث يكون ذلك للجميع X, في، وتلبية عدم المساواة

0 < < д, (10)

يرضي عدم المساواة

لذلك لمثل هذا (س، ص)

أولئك. عدم المساواة (11) يحمل. من عدم المساواة (12) للمشار إليه (س، ص)يتبع من حيث أ> 0 وفي

أ < 0 (сохранение знака).

بحكم التعريف، وظيفة و(س) = و(س 1 , …, س ن ) = ألديه حد عند هذه النقطة

س 0 = يساوي العدد أ، والمشار إليها على النحو التالي:

(ويكتبون أيضا و (خ) > أ (س > س 0)) إذا تم تعريفه على بعض أحياء النقطة س 0، إلا ربما نفسها، وإذا كان هناك حد

مهما كان الطموح س 0 تسلسل النقاط X كمن الحي المحدد ( ك= 1، 2، ...)، يختلف عن س 0 .

تعريف آخر معادل هو: الوظيفة Fلديه عند النقطة س 0 حد يساوي أ، إذا تم تعريفه في بعض أحياء النقطة س 0، ربما باستثناء نفسه، ولأي e > 0 هناك e > 0 من هذا القبيل

للجميع X، وتلبية عدم المساواة

0 < |س - س 0 | < д.

وهذا التعريف بدوره يعادل ما يلي: لأي e > 0 هناك حي يو(x 0 ) نقاط س 0 بحيث يكون للجميع xU(x 0 ) , X ? س 0، عدم المساواة (13) راضية.

ومن الواضح، إذا كان العدد أهناك حد و (خ)الخامس س 0 إذن أهناك حد للوظيفة و(س 0 + ح)من حعند نقطة الصفر:

والعكس صحيح.

دعونا نفكر في بعض الوظائف F، محددة في جميع النقاط المجاورة للنقطة س 0 باستثناء ربما نقطة س 0 ; دع ش = (ش 1، ...، ش ص) هو متجه تعسفي بطول واحد (|у| = 1) و ر> 0 - العددية. وجهات النظر س 0 + رش (0< ر) النموذج الناشئ من س 0 شعاع في اتجاه المتجه مربع. لكل u يمكننا النظر في الوظيفة

(0 < ر < д щ)

من متغير عددي ر، حيث d sh هو رقم يعتمد على sh. حد هذه الدالة (من متغير واحد ر)

فإذا كان موجودا فمن الطبيعي أن نسميه حدا Fعند هذه النقطة س 0 في اتجاه المتجه

سنكتب إذا كانت الوظيفة Fمحددة في بعض الأحياء س 0 باستثناء ربما س 0، ولكل ن> 0 هناك د > 0 بحيث | و (خ)| > ن، منذ 0< |س - س 0 | < д.

يمكننا التحدث عن الحد F، متى X > ?:

على سبيل المثال، في حالة العدد المحدود أيجب أن تفهم المساواة (14) بمعنى أنه بالنسبة لأي e > 0 يمكننا تحديد ما يلي ن> 0، وهو للنقاط X، والتي | س| > ن، وظيفة Fيتم تعريفها ويحدث عدم المساواة.

إذن حدود الدالة و (خ) = و(س 1 , ..., X ص ) من صيتم تحديد المتغيرات عن طريق القياس بنفس الطريقة كما هو الحال بالنسبة لدالة متغيرين.

وبالتالي، دعونا ننتقل إلى تحديد الحد من وظيفة من عدة متغيرات.

رقم أيسمى حد الدالة و (م)في م > م 0 إذا كان لأي رقم e > 0 يوجد دائمًا رقم d > 0 بحيث يكون لأي نقطة م، مختلف عن م 0 واستيفاء الشرط | مم 0 | < д, будет иметь место неравенство | و (م) - أ | < е.

يتم الإشارة إلى الحد في حالة وجود دالة ذات متغيرين

نظريات حول الحدود.إذا كانت الوظائف F 1 (م)و F 2 (م)في م > م 0 يميل كل منهما إلى حد منتهٍ، إذن:

مثال 1.أوجد نهاية الدالة:

حل. دعونا نحول الحد على النحو التالي:

يترك ص = ك س، ثم

مثال 2.أوجد نهاية الدالة:

حل. دعونا نستخدم الحد الأول الرائع إذن

مثال 3.أوجد نهاية الدالة:

حل. دعونا نستخدم الحد الرائع الثاني إذن

النظر في الطائرة والنظام أوكسي الإحداثيات الديكارتية المستطيلة عليها (يمكن النظر في أنظمة الإحداثيات الأخرى).

من الهندسة التحليلية نعلم أنه لكل زوج مرتب من الأرقام (س، ص) يمكنك مقارنة نقطة واحدة م مستوى والعكس بالعكس، إلى كل نقطة م الطائرة يتوافق مع زوج واحد من الأرقام.

لذلك، في المستقبل، عندما نتحدث عن نقطة ما، فغالبًا ما نعني زوج الأرقام المقابل (س، ص) والعكس صحيح.

التعريف 1.2 مجموعة من أزواج الأرقام (س، ص) ، الذي يرضي المتباينات، يسمى مستطيل (مفتوح).

على المستوى سيتم تصويره كمستطيل (الشكل 1.2) مع جوانب موازية لمحاور الإحداثيات ومتمركزة عند النقطة م 0 (x 0 ذ 0 ) .

يُشار إلى المستطيل عادةً بالرمز التالي:

دعونا نقدم مفهومًا مهمًا لمزيد من المناقشة: جوار نقطة ما.

تعريف 1.3 مستطيلة δ - محيط ( حي الدلتا ) نقاط م 0 (x 0 ذ 0 ) يسمى مستطيل

تتمركز في نقطة ما م 0 ومع جوانب متساوية الطول 2δ .

التعريف 1.4 التعميم δ - جوار نقطة م 0 (x 0 ذ 0 ) تسمى دائرة نصف القطر δ تتمركز في نقطة ما م 0 ، أي مجموعة من النقاط م (س ص) ، التي تحقق إحداثياتها عدم المساواة:

من الممكن تقديم مفاهيم الأحياء والأنواع الأخرى، ولكن لأغراض التحليل الرياضي للمشاكل الفنية، يتم استخدام الأحياء المستطيلة والدائرية فقط.

دعونا نقدم المفهوم التالي لحدود دالة ذات متغيرين.

دع الوظيفة ض = و (س، ص) المحددة في بعض المناطق ζ و م 0 (x 0 ذ 0 ) - نقطة تقع داخل هذه المنطقة أو على حدودها.

التعريف 1.5 عدد محدود أ مُسَمًّى نهاية الدالة f (x, y) في

إذا لأي رقم إيجابي ε هل يمكنك العثور على مثل هذا الرقم الإيجابي δ تلك عدم المساواة

يتم تنفيذها لجميع النقاط م (س، ص) من المنطقة ζ ، مختلف عن م 0 (x 0 ذ 0 ) ، التي تحقق إحداثياتها عدم المساواة:

معنى هذا التعريف هو أن قيم الوظيفة و (س، ص) تختلف قليلاً حسب الرغبة عن الرقم A عند نقاط تقع في حي صغير بدرجة كافية من النقطة م 0 .

هنا يعتمد التعريف على الأحياء المستطيلة م 0 . يمكن للمرء أن ينظر في الأحياء الدائرية للنقطة م 0 ومن ثم سيكون من الضروري اشتراط عدم المساواة

في جميع النقاط م (س، ص) منطقة ζ ، مختلف عن م 0 واستيفاء الشرط:

المسافة بين النقاط م و م 0 .

يتم استخدام تسميات الحدود التالية:

بالنظر إلى تعريف نهاية دالة ذات متغيرين، يمكننا توسيع النظريات الأساسية حول حدود دوال متغير واحد لتشمل دوال متغيرين.

على سبيل المثال، النظريات حول نهاية مجموع وحاصل حاصل ضرب دالتين.

§3 استمرارية دالة لمتغيرين

دع الوظيفة ض = و (س، ص) محددة عند النقطة م 0 (x 0 ذ 0 ) والمناطق المحيطة بها.

التعريف 1.6 يقال إن الدالة متصلة عند نقطة ما م 0 (x 0 ذ 0 ) ، لو

إذا كانت الوظيفة و (س، ص) مستمر عند نقطة ما م 0 (x 0 ذ 0 ) ، الذي - التي

بسبب ال

وهذا هو، إذا كانت الوظيفة و (س، ص) مستمر عند نقطة ما م 0 (x 0 ذ 0 ) ، فإن الزيادات المتناهية الصغر في الوسيطات في هذه المنطقة تتوافق مع الزيادات المتناهية الصغر Δz المهام ض .

والعكس صحيح أيضًا: إذا كانت الزيادات المتناهية الصغر في الوسائط تتوافق مع الزيادات المتناهية الصغر في الدالة، فإن الدالة مستمرة

تسمى الوظيفة المستمرة في كل نقطة في المجال مستمرة في المجال. بالنسبة للدوال المستمرة لمتغيرين، وكذلك للدالة ذات المتغير الواحد المستمر على فترة ما، فإن النظريات الأساسية لـ Weierstrass وBolzano-Cauchy صالحة.

المرجع: كارل تيودور فيلهلم فايرستراس (1815 - 1897) - عالم رياضيات ألماني. برنارد بولزانو (1781 - 1848) - عالم رياضيات وفيلسوف تشيكي. أوغسطين لويس كوشي (1789 - 1857) - عالم رياضيات فرنسي، رئيس الأكاديمية الفرنسية للعلوم (1844 - 1857).

مثال 1.4. فحص استمرارية الوظيفة

يتم تعريف هذه الوظيفة لجميع قيم المتغيرات س و ذ إلا عند نقطة الأصل، حيث يصبح المقام صفرًا.

متعدد الحدود س 2 +ص 2 مستمرة في كل مكان، وبالتالي فإن الجذر التربيعي للدالة المتصلة مستمر.

سيكون الكسر متصلًا في كل مكان، باستثناء النقاط التي يكون المقام فيها صفرًا. أي أن الوظيفة قيد النظر مستمرة على المستوى الإحداثي بأكمله أوه ، باستثناء الأصل.

مثال 1.5. فحص استمرارية الوظيفة ض = تيراغرام (س، ص) . الظل معرف ومستمر لجميع القيم المنتهية للوسيطة، باستثناء القيم التي تساوي عددًا فرديًا من الكمية π/2 ، أي. باستثناء النقاط حيث

لكل ثابت "ك" المعادلة (1.11) تحدد القطع الزائد. وبالتالي، فإن الدالة قيد النظر هي دالة مستمرة س و ص باستثناء النقاط الواقعة على المنحنيات (1.11).

6.1. حد واستمرارية دالة ذات عدة متغيرات.

ر ن - المساحة المترية:

ل م 0 (س, س,…, س) و م(X 1 , X 2 , …, X ن) ( م 0 , م) = .

ن= 2: ل م 0 (س 0 , ذ 0), م (س, ذ) ( م 0 , م) =
.

حي نقطة م 0 ش  (م 0) = - النقاط الداخلية لدائرة نصف قطرها  مركزها م 0 .

6.1.1. حدود دالة متعددة المتغيرات. كرر الحدود.

F: ر ن رويرد في بعض أحياء هذه النقطة م 0، ربما باستثناء النقطة نفسها م 0 .

تعريف.رقم أمُسَمًّى حدالمهام

F(س 1 , س 2 , …, س ن) عند نقطة م 0 إذا  >0  >0  م (0 <  (م 0 , م ) <   | F (م ) – أ |<  ).

F نماذج التسجيل:

ن = 2:

هذا حد مزدوج.

في لغة أحياء النقاط:

>0  >0  م (س , ذ ) (م  ش  (م 0 )\ م 0  F (س , ذ )  ش  (أ )).

(مقد يقترب م 0 على أي مسار).

حدود التكرار:
و
.

(ميقترب م 0 أفقياً وعمودياً على التوالي).

نظرية العلاقة بين النهايات المزدوجة والمتكررة.

إذا  الحد المزدوج
و الحدود
,
,

ثم  الحدود المتكررة
,
ويساوي الضعف.

ملاحظة 1.البيان المعاكس ليس صحيحا.

مثال. F (س, ذ) =

,

.

ومع ذلك، فإن الحد المزدوج

=

غير موجود، لأنه في أي جوار للنقطة (0، 0) تأخذ الدالة أيضًا قيمًا "بعيدة" عن الصفر، على سبيل المثال، إذا س = ذ، الذي - التي F (س, ذ) = 0,5.

ملاحظة 2.حتى لو أر: F (س, ذ) أ

عند التحرك مل م 0 على أي خط مستقيم، قد لا يكون الحد المزدوج موجودًا.

مثال.F (س, ذ) =
,م 0 (0, 0). م (س, ذ)  م 0 (0, 0)

الخلاصة: الحد (المزدوج) غير موجود.

مثال على إيجاد الحد.

F (س, ذ) =
, م 0 (0, 0).

دعونا نبين أن الرقم 0 هو نهاية الدالة عند النقطة م 0 .

=
,

 – المسافة بين النقاط مو م 0 .(استخدمت عدم المساواة
,

الذي يترتب على عدم المساواة
)

لنضع  > 0 ونجعل  = 2. <  

6.1.2. استمرارية دالة لعدة متغيرات.

تعريف. F (س, ذ) مستمرة عند هذه النقطة م 0 (س 0 , ذ 0) إذا تم تعريفه في بعض ش  (م 0) و
، ت. e.>0 >0  م (0 < (م 0 , م) <   | F (م) – F (م 0)|< ).

تعليق.يمكن أن تتغير الدالة بشكل مستمر على طول بعض الاتجاهات التي تمر عبر النقطة م 0، ولها انقطاعات على طول اتجاهات أو مسارات أخرى ذات أشكال مختلفة. إذا كان الأمر كذلك، فهو متقطع عند هذه النقطة م 0 .

6.1.3. خصائص نهاية دالة متعددة المتغيرات. خصائص الدوال المستمرة عند نقطة ما.

يحدث تفرد الحد;

دالة لها حد محدود عند نقطة ما م 0 , يحدها في بعض الأحياء من هذه النقطة; يتم تنفيذها الخصائص الترتيبية والجبريةحد

العبور إلى الحد يحافظ على علامات المساواة والمتباينات الضعيفة.

إذا كانت الدالة مستمرة عند النقطة م 0 و F (م 0 )  0 ، الذي - التي علامة المعنىF (م ) هو الحفاظفي بعض ش  (م 0).

المجموع، المنتج، الحاصل(المقام  0) وظائف مستمرة أيضًا وظائف مستمرة, وظيفة معقدة مستمرة، مكونة من تلك المستمرة.

6.1.4. خواص الدوال المستمرة على مجموعة متصلة ومحدودة.ن= 1 و 2 و 3.

التعريف 1.يتم استدعاء المجموعة  متماسك، إذا كان يحتوي أيضًا مع أي نقطتين من نقاطه على بعض المنحنى المستمر الذي يربط بينهما.

التعريف 2.اضبط  في ر نمُسَمًّى محدود، إذا كان موجودًا في بعض "الكرة"
.

ن = 1 

ن = 2 

ن = 3  .

أمثلةمجموعات مغلقة ومحدودة متصلة.

ر 1 = ر: القطعة المستقيمة [ أ, ب];

ر 2: قطعة أ.بأي منحنى مستمر ينتهي عند نقاط أو في;

منحنى مستمر مغلق

دائرة
;

التعريف 3. F: ر ن  رمستمرة على مجموعة مغلقة متصلة   ر ن، إذا  م 0 

.

نظرية.مجموعة منقيموظيفة مستمرة

F: ر ن  رعلى مجموعة متصلة مغلقة ومحدودة هو قطعة [ م , م ] ، هنا م - الأقل، أ م - أعظمقيمها عند نقاط المجموعة.

هكذا، على أي مجموعة متصلة ومحدودة مغلقةر ن الدالة المستمرة تكون محدودة، وتأخذ قيمها الأصغر والأكبر وجميع القيم المتوسطة.

تحديد دالة لعدة متغيرات. مفاهيم أساسية.

إذا كان كل زوج من الأرقام (x، y) مستقلاً عن الآخر من مجموعة معينة، وفقًا لقاعدة ما، مرتبطًا بقيمة واحدة للمتغير z، فإنه يسمى وظيفة اثنين من المتغيرات. ض = و (س، ص،)

مجال الدالة z- مجموعة من الأزواج (x، y) التي توجد لها الدالة z.

مجموعة القيم (نطاق القيم) للدالة هي كل القيم التي تأخذها الدالة في مجال تعريفها.

رسم بياني لوظيفة اثنينالمتغيرات - مجموعة من النقاط P التي تحقق إحداثياتها المعادلة z=f(x,y)

جوار النقطة M0 (x0;y0) نصف القطر r- مجموعة جميع النقاط (x,y) التي تحقق الشرط< r

مجال التعريف ونطاق قيم دالة ذات عدة متغيرات. رسم بياني لوظيفة عدة متغيرات.

حد واستمرارية دالة ذات عدة متغيرات.

حدود دالة متعددة المتغيرات

ومن أجل إعطاء مفهوم نهاية دالة ذات عدة متغيرات، فإننا نقتصر على حالة متغيرين Xو في. بحكم التعريف، وظيفة و (س، ص)له حد عند النقطة ( X 0 , في 0)، يساوي العدد أ، والمشار إليها على النحو التالي:

(1)

(ويكتبون أيضا و (س، ص)→أفي (س، ص)→ (X 0 , في 0)) ، إذا تم تعريفه في بعض أحياء النقطة ( X 0 , في 0)، باستثناء ربما عند هذه النقطة نفسها وإذا كان هناك حد

(2)

مهما كان يميل ( X 0 , في 0) تسلسل النقاط ( س ك، ذ ك).

كما هو الحال في حالة دالة ذات متغير واحد، يمكن تقديم تعريف آخر مكافئ لحدود دالة مكونة من متغيرين: Fلديه نقطة ( X 0 , في 0) الحد يساوي أ، إذا تم تعريفه في بعض أحياء النقطة ( X 0 , في 0) باستثناء، ربما، هذه النقطة نفسها، ولأي ε > 0 هناك δ > 0 بحيث

| و (س، ص) – أ| < ε (3)

للجميع (س، ص)، وتلبية عدم المساواة

0 < < δ. (4)

وهذا التعريف بدوره يعادل ما يلي: لأي ε > 0 هناك حي δ للنقطة ( X 0 , في 0) بحيث للجميع ( س، ص) من هذا الحي يختلف عن ( X 0 , في 0)، عدم المساواة (3) راض.

منذ إحداثيات نقطة تعسفية ( س، ص) حي النقطة ( X 0 , في 0) يمكن كتابتها كـ س = س 0 + Δ X, ص = ص 0 + Δ فيفإن المساواة (1) تعادل المساواة التالية:

دعونا نفكر في بعض الوظائف المحددة في حي النقطة ( X 0 , في 0)، ربما باستثناء هذه النقطة نفسها.

دع ω = (ω X, ω في) - متجه تعسفي بطول واحد (|ω| 2 = ω X 2 + ω في 2 = 1) و ر> 0 - العددية. وجهات النظر

(X 0 + رω X, ذ 0 + رω في) (0 < ر)

تشكل شعاعًا يخرج من ( X 0 , في 0) في اتجاه المتجه ω. لكل ω يمكننا النظر في الوظيفة

F(X 0 + رω X, ذ 0 + رω في) (0 < ر< δ)

من متغير عددي ر، حيث δ عدد صغير إلى حد ما.

حد هذه الدالة (متغير واحد) ر)

F(X 0 + رω X, ذ 0 + رω في),

فإذا كان موجودا فمن الطبيعي أن نسميه حدا Fعند نقطة ( X 0 , في 0) في الاتجاه ω.

مثال 1.المهام

محددة على المستوى ( س، ص) باستثناء هذه النقطة X 0 = 0, في 0 = 0. لدينا (ضع في الاعتبار ذلك و ):

(من أجل ε > 0 قمنا بتعيين δ = ε/2 ثم | و (س، ص)| < ε, если < δ).

ومنه يتضح أن الحد φ عند النقطة (0، 0) في اتجاهات مختلفة يختلف بشكل عام (متجه الوحدة للشعاع ص = ك س, X> 0، لديه النموذج

).

رقم أيسمى حد الدالة و (م)في م → م 0 إذا كان لأي رقم ε > 0 يوجد دائمًا رقم δ > 0 بحيث يكون لأي نقطة م، مختلف عن م 0 واستيفاء الشرط | مم 0 | < δ, будет иметь место неравенство |و (م) – أ | < ε.

تشير الحد في حالة وجود دالة بمتغيرين

نظريات حول الحدود.إذا كانت الوظائف F 1 (م)و F 2 (م)في م → م 0 يميل كل منهما إلى حد منتهٍ، إذن:

الخامس)

استمرارية دالة لعدة متغيرات

بحكم التعريف، وظيفة و (س، ص)مستمرة عند النقطة ( X 0 , في 0)، إذا تم تعريفه في بعض مما جواره، بما في ذلك عند النقطة نفسها ( X 0 , في 0) وإذا كان الحد و (س، ص)عند هذه النقطة يساوي قيمته عندها:

(1)

حالة الاستمرارية Fعند نقطة ( X 0 , في 0) يمكن كتابتها بصيغة مكافئة:

(1")

أولئك. وظيفة Fمستمرة عند النقطة ( X 0 , في 0) إذا كانت الدالة مستمرة و(س 0 + Δ X, في 0 + Δ ذ)على المتغيرات Δ X, Δ فيفي Δ X = Δ ص = 0.

يمكنك إدخال زيادة Δ والمهام و = و (س، ص)عند هذه النقطة (س، ص)، المقابلة للزيادات Δ X, Δ فيالحجج

Δ و = و(س + Δ X, في + Δ ذ) – و (س، ص)

وفي هذه اللغة تعريف الاستمرارية Fالخامس (س، ص): وظيفة Fمستمر عند نقطة ما (س، ص)، لو

(1"")

نظرية.المجموع والفرق وحاصل الضرب وحاصل المستمر عند النقطة ( X 0 ,في 0) الوظائف Fو φ هي دالة مستمرة عند هذه النقطة، ما لم يكن ذلك بالطبع في حالة وجود حاصل القسمة φ ( X 0 , في 0) ≠ 0.

ثابت معيمكن اعتبارها وظيفة و (س، ص) = معمن المتغيرات س، ص. وهو مستمر في هذه المتغيرات لأن

|و (س، ص) – F (X 0 , في 0) | = |ق - ق| = 0 0.

الوظائف التالية الأكثر صعوبة هي و (س، ص) = Xو و (س، ص) = في. ويمكن أيضًا اعتبارها وظائف (س، ص)، وفي نفس الوقت فهي مستمرة. على سبيل المثال، الدالة و (س، ص) = Xيطابق كل نقطة (س، ص)عدد يساوي X. استمرارية هذه الوظيفة عند نقطة تعسفية (س، ص)يمكن إثباته هكذا:

| و(س + Δ X, في + Δ ذ) – و (س، ص) | = |و(س + Δ س) - س| = | Δ X | ≤ 0.

إذا كنت تنتج أكثر من وظائف س، صوإجراءات الجمع والطرح والضرب المستمرة في عدد منتهٍ، فسنحصل على وظائف تسمى كثيرات الحدود في س، ص. استنادا إلى الخصائص المذكورة أعلاه، كثيرات الحدود في المتغيرات س، ص- الدوال المستمرة لهذه المتغيرات لجميع النقاط (س، ص) ر 2 .

سلوك ف / ساثنين من كثيرات الحدود من (س، ص)هي وظيفة عقلانية ل (س، ص)، من الواضح أنه مستمر في كل مكان ر 2، باستثناء النقاط (س، ص)، أين س(س، ص) = 0.

ف (س، ص) = X 3 – في 2 + X 2 في – 4

يمكن أن يكون مثالا على كثير الحدود من (س، ص)الدرجة الثالثة والوظيفة

ف (س، ص) = X 4 – 2X 2 في 2 +في 4

هناك مثال على كثير الحدود من (س، ص)الدرجة الرابعة.

دعونا نعطي مثالا على نظرية تنص على استمرارية دالة من الدوال المستمرة.

نظرية.دع الوظيفة و(س، ص، ض)مستمر عند نقطة ما (x 0 ، ذ 0 ، ض 0 ) فضاء ر 3 نقاط (س، ص، ض))، والوظائف

س = φ (ش، ت)، ذ= ψ (ش، الخامس)، ض= χ (ش، ت)

مستمر عند نقطة ما (ش 0 ،الخامس 0 ) فضاء ر 2 (نقاط (ش، ت)). دعونا، بالإضافة إلى ذلك،

س 0 = φ (ش 0 ،الخامس 0 )، ذ 0 = ψ (ش 0 ،الخامس 0 ) ، ض 0 = χ (ش 0 ،الخامس 0 ) .

ثم الوظيفة F(ش، الخامس) = و[ φ (ش، الخامس)،ψ (ش، الخامس)،χ (ش، ت)] مستمر (بواسطة

(ش، ت)) عند نقطة (ش 0 ،الخامس 0 ) .

دليل. وبما أنه يمكن وضع إشارة النهاية تحت إشارة خاصية الدالة المستمرة، إذن

نظرية.وظيفة و (س، ص)، مستمر عند النقطة ( X 0 , في 0) ولا يساوي الصفر عند هذه النقطة، يحافظ على إشارة الرقم F(X 0 , في 0) في بعض أحياء النقطة ( X 0 , في 0).

بحكم التعريف، وظيفة و(س) = و(س 1 , ..., س ع)مستمر عند نقطة ما X 0 =(x 0 1 , ..., X 0 ف)، إذا تم تعريفه في بعض مما جواره، بما في ذلك عند النقطة نفسها X 0، وإذا كان حده عند هذه النقطة X 0 يساوي قيمته فيه:

(2)

حالة الاستمرارية Fعند هذه النقطة X 0 يمكن كتابتها بصيغة مكافئة:

(2")

أولئك. وظيفة و (خ)مستمر عند نقطة ما X 0 إذا كانت الدالة مستمرة و(س 0 +ح)من حعند هذه النقطة ح = 0.

يمكنك إدخال زيادة Fعند هذه النقطة X 0 المقابلة للزيادة ح = (ح 1 , ..., ح ع),

Δ ح و (خ 0 ) = و (س 0 + ح) – و(س 0 )

وفي لغته تعريف الاستمرارية Fالخامس X 0: وظيفة Fمستمر في X 0 إذا

نظرية.المجموع والفرق والحاصل وحاصل المستمر عند نقطة ما X 0 وظائف و (خ)و φ (خ)هي دالة مستمرة عند هذه النقطة، إذا كان ذلك بالطبع في حالة φ معينة (x 0 ) ≠ 0.

تعليق. زيادة Δ ح و (خ 0 ) وتسمى أيضًا الزيادة الكاملة للوظيفة Fعند هذه النقطة X 0 .

في الفضاء آر إننقاط X = (x 1 , ..., س ع)دعونا نضع مجموعة من النقاط ز.

أ-بريوري X 0 = (x 0 1 , ..., X 0 ف)هي النقطة الداخلية للمجموعة ز، إذا كانت هناك كرة مفتوحة بها مركز، تنتمي بالكامل إلى ز.

مجموعة من ز آر إنويسمى مفتوحا إذا كانت جميع نقاطه داخلية.

يقولون أن الوظائف

X 1 = φ 1 (ر), ..., س ن =φ ع (ر) (أ ≥ ر ≥ ب)

مستمر على الفاصل الزمني [ أ, ب]، تحديد منحنى مستمر في آر إن، ربط النقاط X 1 = (x 1 1 , ..., X 1 ف)و X 2 = (x 2 1 , ..., X 2 ف)، أين X 1 1 = φ 1 (أ), ..., X 1 ن =φ ع (أ), X 2 1 = φ 1 (ب), ..., X 2 ن =φ ع (ب). خطاب رتسمى المعلمة المنحنية.