Notiz:
Sie können Aktionen nur in einem Zahlensystem ausführen. Wenn Sie verschiedene Zahlensysteme erhalten, konvertieren Sie zunächst alle Zahlen in ein Zahlensystem
Wenn Sie mit einem Zahlensystem arbeiten, dessen Basis größer als 10 ist, und Sie in Ihrem Beispiel einen Buchstaben haben, ersetzen Sie diesen gedanklich durch eine Zahl im Dezimalsystem, führen Sie die erforderlichen Operationen durch und konvertieren Sie das Ergebnis wieder in das ursprüngliche Zahlensystem

Zusatz:
Jeder erinnert sich, wie uns in der Grundschule beigebracht wurde, eine Spalte Ort für Ort hinzuzufügen. Wenn beim Hinzufügen einer Ziffer eine Zahl größer als 9 erhalten wurde, haben wir 10 davon subtrahiert, das resultierende Ergebnis in der Antwort notiert und 1 zur nächsten Ziffer addiert. Daraus können wir eine Regel formulieren:

1. Es ist bequemer, eine „Säule“ einzuklappen.
2. Wenn wir Ort für Ort addieren, subtrahieren wir die Basis des Zahlensystems von dieser Zahl, wenn die Ziffer an der Stelle > größer als die größte Ziffer des Alphabets eines bestimmten Zahlensystems ist.
3. Das Ergebnis schreiben wir in die gewünschte Kategorie
4. Addiere eins zur nächsten Ziffer

Beispiel:

Addiere 1001001110 und 100111101 im binären Zahlensystem

1001001110

100111101

1110001011

Antwort: 1110001011

Addieren Sie F3B und 5A in hexadezimaler Schreibweise

FE0

Antwort: FE0

Subtraktion: Jeder erinnert sich, wie uns in der Grundschule beigebracht wurde, den Stellenwert spaltenweise vom Stellenwert zu subtrahieren. Wenn beim Subtrahieren einer Ziffer eine Zahl kleiner als 0 erhalten wurde, haben wir eine von der höchsten Ziffer „geliehen“, 10 zur gewünschten Ziffer addiert und die erforderliche Zahl von der neuen Zahl subtrahiert. Daraus können wir eine Regel formulieren:

1. Es ist bequemer, in einer „Spalte“ zu subtrahieren.
2. Stellenweises Subtrahieren, wenn die Ziffer vorhanden ist< 0, вычитаем из старшего разряда 1, а к нужному разряду прибавляем основание системы счисления.
3. Wir führen eine Subtraktion durch

Beispiel:

Subtrahieren Sie im binären Zahlensystem die Zahl 100111101 von 1001001110

1001001110

100111101

100010001

Antwort: 100010001

Subtrahieren Sie 5A von F3B in hexadezimaler Schreibweise

D96

Antwort: D96

Vergessen Sie vor allem nicht, dass Ihnen nur Zahlen eines bestimmten Zahlensystems zur Verfügung stehen, und vergessen Sie auch nicht die Übergänge zwischen Ziffernbegriffen.
Multiplikation:

Die Multiplikation in anderen Zahlensystemen erfolgt genauso, wie wir es vom Multiplizieren gewohnt sind.

1. Es ist bequemer, in einer „Spalte“ zu multiplizieren
2. Die Multiplikation in jedem Zahlensystem folgt den gleichen Regeln wie im Dezimalsystem. Wir können jedoch nur das durch das Zahlensystem vorgegebene Alphabet verwenden

Beispiel:

Multiplizieren Sie 10111 mit 1101 im Binärzahlensystem

10111

1101

10111

10111

10111

100101011

Antwort: 100101011

Multiplizieren Sie F3B mit der Zahl A in hexadezimaler Schreibweise

F3B

984E

Antwort: 984E

Antwort: 984E

Vergessen Sie vor allem nicht, dass Ihnen nur Zahlen eines bestimmten Zahlensystems zur Verfügung stehen, und vergessen Sie auch nicht die Übergänge zwischen Ziffernbegriffen.

Aufteilung:

Die Division erfolgt in anderen Zahlensystemen genauso, wie wir es gewohnt sind.

1. Es ist bequemer, in einer „Spalte“ zu unterteilen.
2. Die Division erfolgt in jedem Zahlensystem nach den gleichen Regeln wie im Dezimalsystem. Wir können jedoch nur das durch das Zahlensystem vorgegebene Alphabet verwenden

Beispiel:

Teilen Sie 1011011 durch 1101 im Binärzahlensystem

Teilen F 3 B für Nummer 8 im hexadezimalen Zahlensystem

Vergessen Sie vor allem nicht, dass Ihnen nur Zahlen eines bestimmten Zahlensystems zur Verfügung stehen, und vergessen Sie auch nicht die Übergänge zwischen Ziffernbegriffen.

NICHT POSITIONAL

Nichtpositionelle Zahlensysteme

Nicht-positionelle Zahlensysteme tauchten historisch zuerst auf. In diesen Systemen ist die Bedeutung jedes digitalen Zeichens konstant und hängt nicht von seiner Position ab. Der einfachste Fall eines nichtpositionellen Systems ist das Einheitensystem, bei dem ein einzelnes Symbol zur Bezeichnung von Zahlen verwendet wird, normalerweise ein Balken, manchmal ein Punkt, von dem immer die der angegebenen Zahl entsprechende Menge platziert wird:

• 1 - |
• 2 - ||
• 3 - ||| usw.

Dieses eine Zeichen hat also eine Bedeutung Einheiten, woraus man durch sukzessive Addition die benötigte Zahl erhält:

||||| = 1+1+1+1+1 = 5.

Eine Abwandlung des Einheitensystems ist das System mit Basis, bei dem es Symbole nicht nur zur Bezeichnung der Einheit, sondern auch für die Grade der Basis gibt. Wenn beispielsweise die Zahl 5 als Basis verwendet wird, gibt es zusätzliche Symbole, die 5, 25, 125 usw. angeben.

Ein Beispiel für ein solches Basis-10-System ist das altägyptische, das in der zweiten Hälfte des dritten Jahrtausends v. Chr. entstand. Dieses System hatte die folgenden Hieroglyphen:

• Pol - Einheiten,
• Bogen - Zehner,
• Palmblatt - Hunderte,
• Lotusblume - Tausende.

Die Zahlen wurden durch einfache Addition erhalten; die Reihenfolge konnte beliebig sein. Um beispielsweise die Zahl 3815 zu bezeichnen, wurden drei Lotusblüten, acht Palmblätter, ein Bogen und fünf Stangen gezeichnet. Komplexere Systeme mit zusätzlichen Zeichen – altgriechisch, römisch. Auch die römische nutzt ein Element des Stellungssystems – eine größere Zahl vor einer kleineren wird addiert, eine kleinere vor einer größeren subtrahiert: IV = 4, aber VI = 6, diese Methode jedoch wird ausschließlich zur Bezeichnung der Zahlen 4, 9, 40, 90, 400, 900, 4000 und ihrer Ableitungen durch Addition verwendet.

Die modernen griechischen und altrussischen Systeme verwendeten 27 Buchstaben des Alphabets als Zahlen, wobei sie jede Zahl von 1 bis 9 sowie Zehner und Hunderter bezeichneten. Dieser Ansatz ermöglichte es, Zahlen von 1 bis 999 zu schreiben, ohne Zahlen zu wiederholen.

Im alten russischen System wurden spezielle Rahmen um die Zahlen herum verwendet, um große Zahlen anzuzeigen.

Das nichtpositionale Nummerierungssystem wird immer noch fast überall als verbales Nummerierungssystem verwendet. Verbale Nummerierungssysteme sind stark an die Sprache gebunden und ihre gemeinsamen Elemente beziehen sich hauptsächlich auf die allgemeinen Prinzipien und Namen großer Zahlen (Billionen und mehr). Die allgemeinen Prinzipien, die modernen verbalen Nummerierungen zugrunde liegen, umfassen die Bildung von Bezeichnungen durch Addition und Multiplikation der Bedeutungen einzigartiger Namen.

Wie addieren wir im Dezimalsystem?

Erinnern wir uns daran, wie wir Zahlen auf die uns bereits bekannte Weise addieren, nämlich im Dezimalformat.

Das Wichtigste ist, die Kategorien zu verstehen. Merken Sie sich das Alphabet jedes SS und dann wird es für Sie einfacher.

Die Addition im Binärsystem unterscheidet sich nicht von der Addition im Dezimalsystem. Das Wichtigste ist, dass das Alphabet nur zwei Zahlen enthält: 0 und 1. Wenn wir also 1 + 1 addieren, erhalten wir 0 und erhöhen die Zahl um eine weitere Ziffer. Schauen Sie sich das Beispiel oben an:

1. Wir beginnen wie gewohnt von rechts nach links zu falten. 0 + 0 = 0, was bedeutet, dass wir 0 schreiben. Kommen wir zur nächsten Ziffer.
2. Wir addieren 1 + 1 und erhalten 2, aber 2 kommt nicht im binären Zahlensystem vor, was bedeutet, dass wir 0 schreiben und 1 zur nächsten Ziffer addieren.
3. Wir erhalten drei Einsen in dieser Ziffer, addieren 1 + 1 + 1 = 3, diese Zahl kann auch nicht existieren. Das bedeutet 3 – 2 = 1. Und 1 wird zur nächsten Ziffer hinzugefügt.
4. Wir erhalten wieder 1 + 1 = 2. Wir wissen bereits, dass es keine 2 geben kann, also schreiben wir 0 und addieren 1 zur nächsten Ziffer.
5. Dem ist nichts mehr hinzuzufügen, daher lautet die Antwort: 10100.

Wir haben ein Beispiel analysiert, das zweite entscheiden Sie selbst:

Wie bei jedem anderen Zahlensystem müssen Sie sich das Alphabet merken. Versuchen wir, einen Ausdruck hinzuzufügen.

1. Alles ist wie immer, wir beginnen von rechts nach links zu falten. 4 + 3 = 7.
2. 5 + 4 = 9. Neun kann es nicht geben, also subtrahieren wir von 9 8 und erhalten 1. Und addieren zur nächsten Ziffer noch 1 hinzu.
3. 3 + 7 + 1 = 11. Subtrahiere 8 von 11, wir erhalten 3. Und addiere eins zur nächsten Ziffer.
4. 6 + 1 = 7.
5. Es gibt nichts weiter hinzuzufügen. Antwort: 7317.

Führen Sie nun die Addition selbst durch:

1. Wir führen Aktionen aus, die uns bereits bekannt sind, und vergessen dabei nicht das Alphabet. 2 + 1 = 3.
2. 5 + 9 = 14. Denken Sie an das Alphabet: 14 = E.
3. C = 12. 12 + 8 = 20. Im hexadezimalen Zahlensystem gibt es keine Zwanzig. Das heißt, wir subtrahieren 16 von 20 und erhalten 4. Und addieren eins zur nächsten Ziffer.
4. 1 + 1 = 2.
5. Es gibt nichts mehr hinzuzufügen. Antwort: 24E3.

Subtraktion in Zahlensystemen

Erinnern wir uns daran, wie wir das im Dezimalzahlensystem machen.

1. Wir beginnen von links nach rechts, vom kleinsten zum größten. 2 – 1 = 1.
2. 1 – 0 = 1.
3. 3 – 9 = ? Drei ist kleiner als neun, also leihen wir uns eins von der höchsten Ziffer. 13 – 9 = 4.
4. Von der letzten Ziffer haben wir eins für die vorherige Aktion genommen, also 4 – 1 = 3.
5. Antwort: 3411.

1. Beginnen wir wie gewohnt. 1 – 1 = 0.
2. 1 – 0 = 1.
3. Von 0 kann man nicht eins subtrahieren. Daher werden wir einen Rang vom Senior übernehmen. 2 – 1 = 1.
4. Antwort: 110.

Entscheiden Sie jetzt selbst:

1. Nichts Neues, die Hauptsache ist, sich das Alphabet zu merken. 4 – 3 = 1.
2. 5 – 0 = 5.
3. Wir können nicht sofort 7 von 3 subtrahieren; dazu müssen wir eine Einheit von einer höheren Ziffer ausleihen. 11 – 7 = 4.
4. Wir erinnern uns, dass wir uns zuvor eine Einheit ausgeliehen haben, 6 – 1 = 5.
5. Antwort: 5451.

Nehmen wir das vorherige Beispiel und sehen wir uns das Ergebnis im Hexadezimalformat an. Gleich oder anders?

1. 4 – 3 = 1.
2. 5 – 0 = 5.
3. Wir können nicht sofort 7 von 3 subtrahieren; dazu müssen wir eine Einheit von einer höheren Ziffer ausleihen. 19 – 7 = 12. Im Hexadezimalformat ist 12 = C.
4. Denken Sie daran, dass wir uns zuvor eine Einheit ausgeliehen haben, 6 – 1 = 5
5. Antwort: 5С51

Ein Beispiel für eine Do-it-yourself-Lösung:

Multiplikation in Zahlensystemen

Denken wir ein für alle Mal daran, dass die Multiplikation mit eins in jedem Zahlensystem immer die gleiche Zahl ergibt.

1. Wir multiplizieren jede Ziffer mit eins, wie üblich von rechts nach links, und erhalten die Zahl 6748;
2. Wir multiplizieren 6748 mit 8 und erhalten die Zahl 53984;
3. Wir führen die Operation der Multiplikation von 6748 mit 3 durch. Wir erhalten die Zahl 20244;
4. Addieren Sie alle 3 Zahlen gemäß den Regeln. Wir erhalten 2570988;
5. Antwort: 2570988.

Die binäre Multiplikation ist sehr einfach. Wir multiplizieren immer entweder mit 0 oder eins. Die Hauptsache ist, sorgfältig zu falten. Lass es uns versuchen.

1. Wir multiplizieren 1101 wie üblich von rechts nach links mit eins und erhalten die Zahl 1101;
2. Wir führen diesen Vorgang noch zweimal durch;
3. Wir addieren alle drei Zahlen sorgfältig, merken uns das Alphabet und vergessen nicht die Leiter;
4. Antwort: 1011011.

Ein Beispiel für eine Do-it-yourself-Lösung:

1. 5 x 4 = 20. Und 20 = 2 x 8 + 4. Wir schreiben den Rest der Division in eine Zahl – es wird 4 sein, und behalten die 2 im Kopf. Wir führen diesen Vorgang von rechts nach links durch und erhalten die Nummer 40234;
2. Bei Multiplikation mit 0 erhalten wir vier Nullen;
3. Bei Multiplikation mit 7 erhalten wir die Zahl 55164;
4. Jetzt addieren wir die Zahlen und erhalten – 5556634;
5. Antwort: 5556634.

Ein Beispiel für eine Do-it-yourself-Lösung:

Alles ist wie immer, Hauptsache man merkt sich das Alphabet. Der Einfachheit halber wandeln Sie alphabetische Zahlen in Ihr übliches Zahlensystem um; beim Multiplizieren wandeln Sie sie wieder in einen Literalwert um.

Schauen wir uns zur Verdeutlichung die Multiplikation der Zahl 20A4 mit 5 an.

1. 5 x 4 = 20. Und 20 = 16 + 4. Wir schreiben den Rest der Division in eine Zahl – es wird 4 sein, und behalten 1 im Kopf.
2. A x 5 + 1 = 10 x 5 + 1 = 51. 51 = 16 x 3 + 3. Den Rest der Division schreiben wir in eine Zahl – es wird 3 sein, und behalten die 3 im Kopf.
3. Bei Multiplikation mit 0 erhalten wir 0 + 3 = 3;
4. 2 x 5 = 10 = A; Als Ergebnis erhalten wir den A334; Dieses Verfahren führen wir mit zwei weiteren Zahlen durch;
5. Denken Sie an die Regel der Multiplikation mit 1;
6. Wenn wir mit B multiplizieren, erhalten wir die Zahl 1670C;
7. Jetzt addieren wir die Zahlen und erhalten - 169B974;
8. Antwort: 169В974.

Ein Beispiel für eine eigenständige Lösung.

Mit dem Rechner können Sie ganze und gebrochene Zahlen von einem Zahlensystem in ein anderes umrechnen. Die Basis des Zahlensystems darf nicht kleiner als 2 und nicht größer als 36 sein (immerhin 10 Ziffern und 26 lateinische Buchstaben). Die Länge der Zahlen darf 30 Zeichen nicht überschreiten. Um Bruchzahlen einzugeben, verwenden Sie das Symbol. oder, . Um eine Zahl von einem System in ein anderes umzuwandeln, geben Sie im ersten Feld die ursprüngliche Zahl ein, im zweiten die Basis des ursprünglichen Zahlensystems und im dritten Feld die Basis des Zahlensystems, in das Sie die Zahl umwandeln möchten. Klicken Sie dann auf die Schaltfläche „Datensatz abrufen“.

Originalnummer geschrieben in 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -tes Zahlensystem.

Ich möchte eine Nummer eintragen lassen 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -tes Zahlensystem.

Holen Sie sich Zutritt

Abgeschlossene Übersetzungen: 3336969

Sie könnten auch interessiert sein:

• Wahrheitstabellenrechner. SDNF. SKNF. Zhegalkin-Polynom

Zahlensysteme

Zahlensysteme werden in zwei Typen unterteilt: positionell Und nicht positionell. Wir verwenden das arabische System, es ist positionell, aber es gibt auch das römische System – es ist nicht positionell. In Positionssystemen bestimmt die Position einer Ziffer in einer Zahl eindeutig den Wert dieser Zahl. Dies ist leicht zu verstehen, wenn man sich eine Zahl als Beispiel ansieht.

Beispiel 1. Nehmen wir die Zahl 5921 im dezimalen Zahlensystem. Nummerieren wir die Zahl von rechts nach links, beginnend bei Null:

Die Zahl 5921 kann in der folgenden Form geschrieben werden: 5921 = 5000+900+20+1 = 5·10 3 +9·10 2 +2·10 1 +1·10 0 . Die Zahl 10 ist ein Merkmal, das das Zahlensystem definiert. Als Potenzen werden die Werte der Position einer gegebenen Zahl angenommen.

Beispiel 2. Betrachten Sie die echte Dezimalzahl 1234,567. Nummerieren wir es beginnend bei der Nullstelle der Zahl vom Dezimalpunkt nach links und rechts:

Die Zahl 1234,567 kann in der folgenden Form geschrieben werden: 1234,567 = 1000+200+30+4+0,5+0,06+0,007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 + 6·10 -2 +7·10 -3 .

Konvertieren von Zahlen von einem Zahlensystem in ein anderes

Der einfachste Weg, eine Zahl von einem Zahlensystem in ein anderes umzuwandeln, besteht darin, zunächst die Zahl in das Dezimalzahlensystem und dann das resultierende Ergebnis in das erforderliche Zahlensystem umzuwandeln.

Konvertieren von Zahlen aus einem beliebigen Zahlensystem in das Dezimalzahlensystem

Um eine Zahl aus einem beliebigen Zahlensystem in eine Dezimalzahl umzuwandeln, reicht es aus, ihre Ziffern zu nummerieren, beginnend mit Null (der Ziffer links vom Dezimalpunkt), ähnlich wie in den Beispielen 1 oder 2. Lassen Sie uns die Summe der Produkte der Ziffern ermitteln der Zahl durch die Basis des Zahlensystems hoch mit der Position dieser Ziffer:

1. Wandeln Sie die Zahl 1001101,1101 2 in das Dezimalzahlensystem um.
Lösung: 10011.1101 2 = 1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +1·2 -2 +0·2 -3 +1·2 - 4 = 16+2+1+0,5+0,25+0,0625 = 19,8125 10
Antwort: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. Wandeln Sie die Zahl E8F.2D 16 in das Dezimalzahlensystem um.
Lösung: E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0,125+0,05078125 = 3727,17578125 10
Antwort: E8F.2D 16 = 3727,17578125 10

Konvertieren von Zahlen aus dem Dezimalzahlensystem in ein anderes Zahlensystem

Um Zahlen vom Dezimalzahlensystem in ein anderes Zahlensystem umzuwandeln, müssen die ganzzahligen und gebrochenen Teile der Zahl getrennt umgewandelt werden.

Konvertieren eines ganzzahligen Teils einer Zahl von einem Dezimalzahlensystem in ein anderes Zahlensystem

Ein ganzzahliger Teil wird von einem Dezimalzahlensystem in ein anderes Zahlensystem umgewandelt, indem der ganzzahlige Teil einer Zahl nacheinander durch die Basis des Zahlensystems dividiert wird, bis ein ganzer Rest erhalten wird, der kleiner als die Basis des Zahlensystems ist. Das Ergebnis der Übersetzung ist eine Aufzeichnung des Rests, beginnend mit der letzten.

3. Wandeln Sie die Zahl 273 10 in das oktale Zahlensystem um.
Lösung: 273 / 8 = 34 und Rest 1. 34 / 8 = 4 und Rest 2. 4 ist kleiner als 8, also ist die Berechnung abgeschlossen. Der Datensatz der Salden sieht folgendermaßen aus: 421
Untersuchung: 4·8 2 +2·8 1 +1·8 0 = 256+16+1 = 273 = 273, das Ergebnis ist das gleiche. Dies bedeutet, dass die Übersetzung korrekt durchgeführt wurde.
Antwort: 273 10 = 421 8

Betrachten wir die Übersetzung regulärer Dezimalbrüche in verschiedene Zahlensysteme.

Konvertieren des Bruchteils einer Zahl vom Dezimalzahlensystem in ein anderes Zahlensystem

Denken Sie daran, dass ein echter Dezimalbruch aufgerufen wird reelle Zahl mit einem ganzzahligen Teil Null. Um eine solche Zahl in ein Zahlensystem mit der Basis N umzuwandeln, müssen Sie die Zahl nacheinander mit N multiplizieren, bis der Bruchteil Null wird oder die erforderliche Anzahl von Ziffern erreicht ist. Erhält man bei der Multiplikation eine Zahl mit einem ganzzahligen Teil ungleich Null, so wird der ganzzahlige Teil nicht weiter berücksichtigt, da er sequentiell in das Ergebnis eingeht.

4. Wandeln Sie die Zahl 0,125 · 10 in das binäre Zahlensystem um.
Lösung: 0,125·2 = 0,25 (0 ist der ganzzahlige Teil, der zur ersten Ziffer des Ergebnisses wird), 0,25·2 = 0,5 (0 ist die zweite Ziffer des Ergebnisses), 0,5·2 = 1,0 (1 ist die dritte Ziffer des Ergebnisses, und da der Bruchteil Null ist, ist die Übersetzung abgeschlossen.
Antwort: 0.125 10 = 0.001 2

Mit diesem Online-Rechner können Sie ganze und gebrochene Zahlen von einem Zahlensystem in ein anderes umrechnen. Eine detaillierte Lösung mit Erläuterungen wird gegeben. Geben Sie zum Übersetzen die Originalzahl ein, legen Sie die Basis des Zahlensystems der Quellzahl fest, legen Sie die Basis des Zahlensystems fest, in das Sie die Zahl umwandeln möchten, und klicken Sie auf die Schaltfläche „Übersetzen“. Siehe den theoretischen Teil und die numerischen Beispiele unten.

Das Ergebnis liegt bereits vor!

Umrechnung von ganzen Zahlen und Brüchen von einem Zahlensystem in ein anderes – Theorie, Beispiele und Lösungen

Es gibt positionelle und nicht-positionelle Zahlensysteme. Das arabische Zahlensystem, das wir im Alltag verwenden, ist positionell, das römische Zahlensystem jedoch nicht. In Positionszahlensystemen bestimmt die Position einer Zahl eindeutig die Größe der Zahl. Betrachten wir dies am Beispiel der Zahl 6372 im dezimalen Zahlensystem. Nummerieren wir diese Zahl von rechts nach links, beginnend bei Null:

Dann lässt sich die Zahl 6372 wie folgt darstellen:

6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .

Die Zahl 10 bestimmt das Zahlensystem (in diesem Fall ist es 10). Als Potenzen werden die Werte der Position einer gegebenen Zahl angenommen.

Betrachten Sie die echte Dezimalzahl 1287,923. Nummerieren wir es beginnend bei der Nullposition der Zahl vom Dezimalpunkt nach links und rechts:

Dann kann die Zahl 1287.923 dargestellt werden als:

1287,923 =1000+200+80 +7+0,9+0,02+0,003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3· 10 -3.

Im Allgemeinen lässt sich die Formel wie folgt darstellen:

C n S n +C n-1 · S n-1 +...+C 1 · S 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k

wobei C n eine ganze Zahl in der Position ist N, D -k - Bruchzahl in Position (-k), S- Zahlensystem.

Ein paar Worte zu Zahlensystemen. Eine Zahl im dezimalen Zahlensystem besteht aus vielen Ziffern (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), im oktalen Zahlensystem besteht sie aus vielen Ziffern (0,1, 2,3,4,5,6,7), im binären Zahlensystem - aus einer Ziffernfolge (0,1), im hexadezimalen Zahlensystem - aus einer Ziffernfolge (0,1 ,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), wobei A,B,C,D,E,F den Zahlen 10,11 entsprechen, 12,13,14,15. In der Tabelle Tab.1 sind Zahlen in verschiedenen Zahlensystemen dargestellt.

Tabelle 1
Notation
10	2	8	16
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

Konvertieren von Zahlen von einem Zahlensystem in ein anderes

Um Zahlen von einem Zahlensystem in ein anderes umzuwandeln, ist es am einfachsten, die Zahl zunächst in das Dezimalzahlensystem und dann vom Dezimalzahlensystem in das erforderliche Zahlensystem umzuwandeln.

Konvertieren von Zahlen aus einem beliebigen Zahlensystem in das Dezimalzahlensystem

Mit Formel (1) können Sie Zahlen aus jedem Zahlensystem in das Dezimalzahlensystem umrechnen.

Beispiel 1. Wandeln Sie die Zahl 1011101,001 vom Binärzahlensystem (SS) in das Dezimalzahlensystem SS um. Lösung:

1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4 + 1 ·2 3 + 1 ·2 2 + 0 ·2 1 + 1 ·2 0 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93,125

Beispiel2. Wandeln Sie die Zahl 1011101,001 vom Oktalzahlensystem (SS) in das Dezimalzahlensystem SS um. Lösung:

Beispiel 3 . Konvertieren Sie die Zahl AB572.CDF vom hexadezimalen Zahlensystem in das dezimale SS. Lösung:

Hier A-durch 10 ersetzt, B- um 11, C- um 12, F- bis 15.

Konvertieren von Zahlen aus dem Dezimalzahlensystem in ein anderes Zahlensystem

Um Zahlen vom Dezimalzahlensystem in ein anderes Zahlensystem umzuwandeln, müssen Sie den ganzzahligen Teil der Zahl und den Bruchteil der Zahl getrennt umwandeln.

Der ganzzahlige Teil einer Zahl wird vom dezimalen SS in ein anderes Zahlensystem umgewandelt, indem der ganzzahlige Teil der Zahl sequentiell durch die Basis des Zahlensystems dividiert wird (für binäre SS – durch 2, für 8-äre SS – durch 8, für 16). -ary SS - um 16 usw. ), bis ein ganzer Rest erhalten wird, der kleiner als die Base CC ist.

Beispiel 4 . Lassen Sie uns die Zahl 159 von der dezimalen SS in die binäre SS umwandeln:

159	2
158	79	2
1	78	39	2
	1	38	19	2
		1	18	9	2
			1	8	4	2
				1	4	2	2
					0	2	1
						0

Wie aus Abb. ersichtlich ist. In 1 ergibt die Zahl 159, wenn sie durch 2 geteilt wird, den Quotienten 79 und den Rest 1. Außerdem ergibt die Zahl 79, wenn sie durch 2 geteilt wird, den Quotienten 39 und den Rest 1 usw. Als Ergebnis erhalten wir durch die Bildung einer Zahl aus Divisionsresten (von rechts nach links) eine Zahl im binären SS-Format: 10011111 . Deshalb können wir schreiben:

159 10 =10011111 2 .

Beispiel 5 . Lassen Sie uns die Zahl 615 von der Dezimal-SS in die Oktal-SS umwandeln.

615	8
608	76	8
7	72	9	8
	4	8	1
		1

Wenn Sie eine Zahl von einer dezimalen SS in eine oktale SS umwandeln, müssen Sie die Zahl der Reihe nach durch 8 dividieren, bis Sie einen ganzzahligen Rest kleiner als 8 erhalten. Als Ergebnis erhalten wir, wenn wir eine Zahl aus Divisionsresten konstruieren (von rechts nach links). eine Zahl in oktaler SS: 1147 (siehe Abb. 2). Deshalb können wir schreiben:

615 10 =1147 8 .

Beispiel 6 . Lassen Sie uns die Zahl 19673 vom dezimalen Zahlensystem in das hexadezimale SS umwandeln.

19673	16
19664	1229	16
9	1216	76	16
	13	64	4
		12

Wie aus Abbildung 3 ersichtlich ist, ergeben sich durch sukzessives Teilen der Zahl 19673 durch 16 die Reste 4, 12, 13, 9. Im hexadezimalen Zahlensystem entspricht die Zahl 12 C, die Zahl 13 D. Daher unsere Die Hexadezimalzahl ist 4CD9.

Um reguläre Dezimalbrüche (eine reelle Zahl mit einem ganzzahligen Teil Null) in ein Zahlensystem mit der Basis s umzuwandeln, ist es notwendig, diese Zahl sukzessive mit s zu multiplizieren, bis der Bruchteil eine reine Null enthält oder wir die erforderliche Anzahl von Ziffern erhalten . Wenn bei der Multiplikation eine Zahl mit einem ganzzahligen Teil ungleich Null erhalten wird, wird dieser ganzzahlige Teil nicht berücksichtigt (er wird nacheinander in das Ergebnis einbezogen).

Schauen wir uns das Obige anhand von Beispielen an.

Beispiel 7 . Lassen Sie uns die Zahl 0,214 vom dezimalen Zahlensystem in das binäre SS umwandeln.

		0.214
	X	2
0		0.428
	X	2
0		0.856
	X	2
1		0.712
	X	2
1		0.424
	X	2
0		0.848
	X	2
1		0.696
	X	2
1		0.392

Wie aus Abb. 4 ersichtlich ist, wird die Zahl 0,214 sequentiell mit 2 multipliziert. Wenn das Ergebnis der Multiplikation eine Zahl mit einem ganzzahligen Teil ungleich Null ist, wird der ganzzahlige Teil separat geschrieben (links von der Zahl). und die Zahl wird mit einem ganzzahligen Teil Null geschrieben. Ergibt die Multiplikation eine Zahl mit einem ganzzahligen Teil Null, wird links davon eine Null geschrieben. Der Multiplikationsprozess wird fortgesetzt, bis der Bruchteil eine reine Null erreicht oder wir die erforderliche Anzahl von Ziffern erhalten. Wenn wir die fett gedruckten Zahlen (Abb. 4) von oben nach unten schreiben, erhalten wir die gewünschte Zahl im binären Zahlensystem: 0. 0011011 .

Deshalb können wir schreiben:

0.214 10 =0.0011011 2 .

Beispiel 8 . Lassen Sie uns die Zahl 0,125 vom dezimalen Zahlensystem in das binäre SS umwandeln.

		0.125
	X	2
0		0.25
	X	2
0		0.5
	X	2
1		0.0

Um die Zahl 0,125 von der dezimalen SS in die binäre Zahl umzuwandeln, wird diese Zahl sequentiell mit 2 multipliziert. In der dritten Stufe ist das Ergebnis 0. Folglich wird das folgende Ergebnis erhalten:

0.125 10 =0.001 2 .

Beispiel 9 . Lassen Sie uns die Zahl 0,214 vom dezimalen Zahlensystem in das hexadezimale SS umwandeln.

		0.214
	X	16
3		0.424
	X	16
6		0.784
	X	16
12		0.544
	X	16
8		0.704
	X	16
11		0.264
	X	16
4		0.224

Nach den Beispielen 4 und 5 erhalten wir die Zahlen 3, 6, 12, 8, 11, 4. Aber im hexadezimalen SS entsprechen die Zahlen 12 und 11 den Zahlen C und B. Daher haben wir:

0,214 10 =0,36C8B4 16 .

Beispiel 10 . Lassen Sie uns die Zahl 0,512 vom dezimalen Zahlensystem in das oktale SS umwandeln.

		0.512
	X	8
4		0.096
	X	8
0		0.768
	X	8
6		0.144
	X	8
1		0.152
	X	8
1		0.216
	X	8
1		0.728

Bekommen:

0.512 10 =0.406111 8 .

Beispiel 11 . Lassen Sie uns die Zahl 159,125 vom dezimalen Zahlensystem in das binäre SS umwandeln. Dazu übersetzen wir getrennt den ganzzahligen Teil der Zahl (Beispiel 4) und den gebrochenen Teil der Zahl (Beispiel 8). Wenn wir diese Ergebnisse weiter kombinieren, erhalten wir:

159.125 10 =10011111.001 2 .

Beispiel 12 . Lassen Sie uns die Zahl 19673,214 vom dezimalen Zahlensystem in das hexadezimale SS umwandeln. Dazu übersetzen wir getrennt den ganzzahligen Teil der Zahl (Beispiel 6) und den gebrochenen Teil der Zahl (Beispiel 9). Durch die Kombination dieser Ergebnisse erhalten wir weiter.

Zweck des Dienstes. Der Online-Rechner ist für die Addition von Binärzahlen in Vorwärts-, Rückwärts- und Komplementcodes konzipiert.

Mit diesem Rechner werden außerdem verwendet:
Konvertieren von Zahlen in binäre, hexadezimale, dezimale und oktale Zahlensysteme
Binärzahlen multiplizieren
Gleitkommaformat
Beispiel Nr. 1. Stellen Sie die Zahl 133,54 in Gleitkommaform dar.
Lösung. Stellen wir die Zahl 133,54 in normalisierter Exponentialform dar:
1,3354*10 2 = 1,3354*exp 10 2
Die Zahl 1,3354*exp 10 2 besteht aus zwei Teilen: der Mantisse M=1,3354 und dem Exponenten exp 10 =2
Wenn die Mantisse im Bereich 1 ≤ M liegt Darstellung einer Zahl in denormalisierter Exponentialform.
Wenn die Mantisse im Bereich 0,1 ≤ M liegt, stellen wir die Zahl in denormalisierter Exponentialform dar: 0,13354*exp 10 3

Beispiel Nr. 2. Stellen Sie die Binärzahl 101,10 2 in normalisierter Form dar, geschrieben im 32-Bit-IEEE754-Standard.
Wahrheitstabelle

Berechnung von Grenzwerten

Arithmetik im binären Zahlensystem

Arithmetische Operationen im Binärsystem werden auf die gleiche Weise ausgeführt wie im Dezimalsystem. Wenn jedoch im dezimalen Zahlensystem die Übertragung und Entlehnung um zehn Einheiten erfolgt, dann im binären Zahlensystem um zwei Einheiten. Die Tabelle zeigt die Regeln für Addition und Subtraktion im binären Zahlensystem.

1. Bei der Addition zweier Einheiten in einem binären Zahlensystem ist dieses Bit 0 und die Einheit wird auf das höchstwertige Bit übertragen.
2. Wenn man Eins von Null subtrahiert, wird Eins von der höchsten Ziffer entlehnt, wo 1 steht. Eine in dieser Ziffer besetzte Einheit ergibt zwei Einheiten in der Ziffer, in der die Aktion berechnet wird, sowie eine in allen Zwischenziffern.

Das Addieren von Zahlen unter Berücksichtigung ihrer Vorzeichen an einer Maschine ist eine Abfolge der folgenden Aktionen:

• Konvertieren der ursprünglichen Zahlen in den angegebenen Code;
• bitweise Addition von Codes;
• Analyse des erhaltenen Ergebnisses.

Wenn bei der Ausführung einer Operation im umgekehrten (modifizierten umgekehrten) Code als Ergebnis der Addition eine Übertragseinheit im Vorzeichenbit erscheint, wird diese zum niederwertigen Bit der Summe addiert.
Wenn bei der Ausführung einer Operation im Zweierkomplementcode (modifiziertes Zweierkomplement) eine Übertragseinheit im Vorzeichenbit als Ergebnis der Addition erscheint, wird diese verworfen.
Die Subtraktionsoperation in einem Computer erfolgt durch Addition nach der Regel: X-Y=X+(-Y). Weitere Aktionen werden auf die gleiche Weise wie bei der Additionsoperation ausgeführt.

Beispiel Nr. 1.
Gegeben: x=0,110001; y= -0,001001, in umgekehrtem modifiziertem Code hinzufügen.

Gegeben: x=0,101001; y= -0,001101, zusätzlichen geänderten Code hinzufügen.

Beispiel Nr. 2. Lösen Sie Beispiele zum Subtrahieren von Binärzahlen mit dem 1er-Komplement und der zyklischen Übertragsmethode.
a) 11 - 10.
Lösung.
Stellen wir uns die Zahlen 11 2 und -10 2 im umgekehrten Code vor.

Die Binärzahl 0000011 hat den Kehrwert 0,0000011

Addieren wir die Zahlen 00000011 und 11111101

7	6	5	4	3	2	1	0
						1
0	0	0	0	0	0	1	1
1	1	1	1	1	1	0	1
							0

7	6	5	4	3	2	1	0
					1	1
0	0	0	0	0	0	1	1
1	1	1	1	1	1	0	1
						0	0

In der 2. Ziffer (1 + 1 = 10) ist ein Überlauf aufgetreten. Deshalb schreiben wir 0 und verschieben 1 an die 3. Stelle.

7	6	5	4	3	2	1	0
				1	1	1
0	0	0	0	0	0	1	1
1	1	1	1	1	1	0	1
					0	0	0

7	6	5	4	3	2	1	0
			1	1	1	1
0	0	0	0	0	0	1	1
1	1	1	1	1	1	0	1
				0	0	0	0

7	6	5	4	3	2	1	0
		1	1	1	1	1
0	0	0	0	0	0	1	1
1	1	1	1	1	1	0	1
			0	0	0	0	0

7	6	5	4	3	2	1	0
	1	1	1	1	1	1
0	0	0	0	0	0	1	1
1	1	1	1	1	1	0	1
		0	0	0	0	0	0

7	6	5	4	3	2	1	0
1	1	1	1	1	1	1
0	0	0	0	0	0	1	1
1	1	1	1	1	1	0	1
	0	0	0	0	0	0	0

7	6	5	4	3	2	1	0
1	1	1	1	1	1	1
0	0	0	0	0	0	1	1
1	1	1	1	1	1	0	1
0	0	0	0	0	0	0	0

Als Ergebnis erhalten wir:

7	6	5	4	3	2	1	0
1	1	1	1	1	1	1
0	0	0	0	0	0	1	1
1	1	1	1	1	1	0	1
0	0	0	0	0	0	0	0

Es ist ein Übertrag vom Vorzeichenbit aufgetreten. Addieren wir es (d. h. 1) zur resultierenden Zahl (und führen so den zyklischen Übertragungsvorgang aus).
Als Ergebnis erhalten wir:

7	6	5	4	3	2	1	0
0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	0	0	0	0	0	1
0	0	0	0	0	0	0	1

Das Ergebnis der Addition: 00000001. Wandeln wir es in eine Dezimaldarstellung um. Um einen ganzzahligen Teil zu übersetzen, müssen Sie die Ziffer einer Zahl mit dem entsprechenden Zifferngrad multiplizieren.
00000001 = 2 7 *0 + 2 6 *0 + 2 5 *0 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *0 + 2 1 *0 + 2 0 *1 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 = 1
Additionsergebnis (Dezimalschreibweise): 1

b) 111-010 Stellen wir uns die Zahlen 111 2 und -010 2 im umgekehrten Code vor.
Der Rückwärtscode für eine positive Zahl ist derselbe wie der Vorwärtscode. Bei einer negativen Zahl werden alle Ziffern der Zahl durch ihre Gegensätze (1 durch 0, 0 durch 1) ersetzt und in der Vorzeichenziffer eine Einheit eingetragen.
Die Binärzahl 0000111 hat den Kehrwert 0,0000111
Die Binärzahl 0000010 hat den Kehrwert 1,1111101
Addieren wir die Zahlen 00000111 und 11111101
An der 0. Stelle (1 + 1 = 10) ist ein Überlauf aufgetreten. Deshalb schreiben wir 0 und verschieben 1 an die 1. Stelle.

7	6	5	4	3	2	1	0
						1
0	0	0	0	0	1	1	1
1	1	1	1	1	1	0	1
							0

In der 1. Ziffer (1 + 1 = 10) ist ein Überlauf aufgetreten. Deshalb schreiben wir 0 und verschieben 1 an die 2. Ziffer.

7	6	5	4	3	2	1	0
					1	1
0	0	0	0	0	1	1	1
1	1	1	1	1	1	0	1
						0	0

In der 2. Ziffer ist ein Überlauf aufgetreten (1 + 1 + 1 = 11). Deshalb schreiben wir 1 und verschieben 1 an die 3. Ziffer.

7	6	5	4	3	2	1	0
				1	1	1
0	0	0	0	0	1	1	1
1	1	1	1	1	1	0	1
					1	0	0

In der 3. Ziffer (1 + 1 = 10) ist ein Überlauf aufgetreten. Deshalb schreiben wir 0 und verschieben 1 an die 4. Stelle.

7	6	5	4	3	2	1	0
			1	1	1	1
0	0	0	0	0	1	1	1
1	1	1	1	1	1	0	1
				0	1	0	0

Im 4. Bit (1 + 1 = 10) ist ein Überlauf aufgetreten. Deshalb schreiben wir 0 und verschieben 1 an die 5. Stelle.

7	6	5	4	3	2	1	0
		1	1	1	1	1
0	0	0	0	0	1	1	1
1	1	1	1	1	1	0	1
			0	0	1	0	0

In der 5. Ziffer (1 + 1 = 10) ist ein Überlauf aufgetreten. Deshalb schreiben wir 0 und verschieben 1 an die 6. Stelle.

7	6	5	4	3	2	1	0
	1	1	1	1	1	1
0	0	0	0	0	1	1	1
1	1	1	1	1	1	0	1
		0	0	0	1	0	0

Im 6. Bit (1 + 1 = 10) ist ein Überlauf aufgetreten. Deshalb schreiben wir 0 und verschieben 1 an die 7. Stelle.

7	6	5	4	3	2	1	0
1	1	1	1	1	1	1
0	0	0	0	0	1	1	1
1	1	1	1	1	1	0	1
	0	0	0	0	1	0	0

Im 7. Bit (1 + 1 = 10) ist ein Überlauf aufgetreten. Deshalb schreiben wir 0 und verschieben 1 an die 8. Stelle.

7	6	5	4	3	2	1	0
1	1	1	1	1	1	1
0	0	0	0	0	1	1	1
1	1	1	1	1	1	0	1
0	0	0	0	0	1	0	0

Als Ergebnis erhalten wir:

7	6	5	4	3	2	1	0
1	1	1	1	1	1	1
0	0	0	0	0	1	1	1
1	1	1	1	1	1	0	1
0	0	0	0	0	1	0	0

Es ist ein Übertrag vom Vorzeichenbit aufgetreten. Addieren wir es (d. h. 1) zur resultierenden Zahl (und führen so den zyklischen Übertragungsvorgang aus).
Als Ergebnis erhalten wir:

7	6	5	4	3	2	1	0
0	0	0	0	0	1	0	0
0	0	0	0	0	0	0	1
0	0	0	0	0	1	0	1

Additionsergebnis: 00000101
Wir haben die Zahl 00000101 erhalten. Um den ganzen Teil umzurechnen, müssen Sie die Ziffer der Zahl mit dem entsprechenden Zifferngrad multiplizieren.
00000101 = 2 7 *0 + 2 6 *0 + 2 5 *0 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *1 + 2 1 *0 + 2 0 *1 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 4 + 0 + 1 = 5
Additionsergebnis (Dezimalschreibweise): 5

Addition binärer Gleitkomma-Realzahlen

Auf einem Computer kann jede Zahl im Gleitkommaformat dargestellt werden. Das Gleitkommaformat ist in der Abbildung dargestellt:


Die Zahl 10101 im Gleitkommaformat kann beispielsweise so geschrieben werden:


Computer verwenden eine normalisierte Form zum Schreiben einer Zahl, bei der die Position des Dezimalpunkts immer vor der signifikanten Ziffer der Mantisse angegeben wird, d. h. die Bedingung ist erfüllt:
b -1 ≤|M| Normalisierte Zahl - Dabei handelt es sich um eine Zahl mit einer signifikanten Nachkommastelle (d. h. 1 im binären Zahlensystem). Normalisierungsbeispiel:
0,00101*2 100 =0,101*2 10
111,1001*2 10 =0,111001*2 101
0,01101*2 -11 =0,1101*2 -100
11,1011*2 -101 =0,11011*2 -11

Beim Addieren von Gleitkommazahlen erfolgt eine Ordnungsausrichtung in Richtung einer höheren Ordnung:

Algorithmus zum Addieren von Gleitkommazahlen:

1. Ausrichtung von Aufträgen;
2. Hinzufügung von Mantissen in geändertem Zusatzcode;
3. Normalisierung des Ergebnisses.

Beispiel Nr. 4.
A=0,1011*2 10 , B=0,0001*2 11
1. Ausrichtung der Aufträge;
A=0,01011*2 11 , B=0,0001*2 11
2. Hinzufügung von Mantissen im zusätzlichen geänderten Code;
MA zusätzlicher Mod. =00.01011
MB zusätzlicher Mod. =00.0001
00,01011
+ 00,00010
=
00,01101
A+B=0,01101*2 11
3. Normalisierung des Ergebnisses.
A+B=0,1101*2 10

Beispiel Nr. 3. Schreiben Sie eine Dezimalzahl im binären Zahlensystem und addieren Sie zwei Zahlen im binären Zahlensystem.

Lesen Sie auch...

• Festnetztelefon von MGTS: Tarife und Zusatzleistungen MGTS-Tarifplan 1
• So verwenden Sie die neueste Version v2
• Die besten kostenlosen Programme zum Scannen von Dokumenten
• Testbericht zum Meizu MX4 Pro – Android-Flaggschiff aus dem Reich der Mitte Bluetooth ist ein Standard für die sichere drahtlose Datenübertragung zwischen verschiedenen Geräten unterschiedlichen Typs über kurze Distanzen